HDU3693 Math Teacher's Homework ---- 数位DP

HDU3693 Math Teacher's Homework

一句话题意

给定$n, k以及m_1, m_2, m_3, ..., m_n$求$x_1 \oplus x_2 \oplus x_3 \oplus ... \oplus x_n == K(x_1 \leq m_1, x_2 \leq m_2...)$ 的方案数。

 

题解

一开始口糊了一下，然后写代码的时候发现不少东西没考虑周到，于是就看起了题解。

我们首先需要发现一个重要的性质：

如果某一位上不受m限制（也就是选0或选1都可以）那么无论其它数的这一位位选什么都可以通过这一位来变成结果和K的这一位相等

为了避免来自$x <= m$的麻烦，我们首先让$m ++$， 使条件变为$x < m$。

然后按照数位dp的套路对位分析。

首先假设我们处理到了第j位，然后从高位到$j + 1$位都已经到了最大值

然后第$j$位由于要小于m，所以m的这一位必然1,然后j的这一位必然是0

然后按照套路我们发现如果这一位我们选了0,那么后面的位随便选都不会大于m

为了方便dp，我们令每一位最早允许随便选的那个$x_i$为$A_j$，这个数将在后面被限制以使其它自由位达到K上对应位的要求

我们记第j位上的第i个数字为自由的，当且仅当这个位不是被m限制了（即第i个数从高位枚举到第一个比m小的位置），且不是那些被最早选择（上一行的定义）限制的数字。

然后每一位上的方案数就是$2^{自由数个数-1}$

于是我们设$dp[i][j][0/1]$表示第i个数的“第i个数从高位枚举到第一个比m小的位置”为j，此位的异或值为0/1

下面我们记

$num[i][j]$为第i个数字第j位

$sum[i][j]$为j位上从第一个数字异或到第i个数字的结果

然后分情况（自由数位置）讨论从状态$dp[i - 1][k][r]$（注意大小写）（注意下面$2^x$的下标）转移，若

m此位可以有不同限制，即$num[i][j] == 1$

$j < k$：$dp[i][j][sum[i - 1][j]] += dp[i - 1][k][r] * 2^k$

$j > k$：$dp[i][k][r \oplus sum[i - 1][j]] += dp[i - 1][k][r] * 2^j$

$j == k$：$dp[i][j][r] += dp[i - 1][k][r] * 2^k$

最后要求$k[j] == sum[n][j]$的时候才能统计入答案

（然而我并不知道怎么用Latex打出'^' ......）

代码如下：

 

#include <cstdio>

#include <bitset>
#include <cstring>

using namespace std;

char buf[11111111], *pc = buf;

inline void Main_Init(){
    static bool inited = false;
    if(inited) fclose(stdin), fclose(stdout);
    else {
        fread(buf, 1, 11111111, stdin);
        inited = true;
    }
}

inline int read(){
    int num = 0;
    char c;
    while((c = *pc ++) < 48);
    while(num = num * 10 + c - 48, (c = *pc ++) >= 48);
    return num;
}

//Source Code

const int MAXN = 55;
const int MAXM = 33;
const int MODS = 1000000003;

int n, ans;
int x[MAXN];
unsigned int bin[MAXM];
int dp[MAXN][MAXM][2];

bitset<32> K, num[MAXN], sum[MAXN];

int main(){
    Main_Init();
    for(int i = 0; i < 32; i++) bin[i] = 1 << i;
    while(n = read(), n){
        K = read();
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            num[i] = x[i] = read() + 1;
        memset(sum, 0, sizeof(sum)), memset(dp, 0, sizeof(dp));
        ans = 0;
        dp[0][0][0] = 1;
        for(int j = 0; j < 32; j++) sum[0][j] = num[0][j];
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 0; j < 32; j++)
                sum[i][j] = sum[i - 1][j] ^ num[i][j];
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j < 32; j++){
                if(!num[i][j]) continue;
                for(int k = 0; k < 32; k++){
                    for(int r = 0; r < 2; r++){
                        if(dp[i - 1][k][r]){
                            if(j > k) dp[i][j][sum[i - 1][j]] = (dp[i][j][sum[i - 1][j]] + 1ll * dp[i - 1][k][r] * bin[k]) % MODS;
                            else if(j < k) dp[i][k][r ^ num[i][k]] = (dp[i][k][r ^ num[i][k]] + 1ll * dp[i - 1][k][r] * bin[j]) % MODS;
                            else dp[i][j][r] = (dp[i][j][r] + 1ll * dp[i - 1][k][r] * bin[k]) % MODS;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        for(int i = 31; i >= 0 && K[i + 1] == sum[n][i + 1]; i--)
            ans = (1ll * ans + dp[n][i][K[i]]) % MODS;
        printf("%d\n", ans);
    }
    Main_Init();
    return 0;
}