Method of Four Russians 学习笔记

四毛子算法qwq

大概就是一种可以做到\(O(n)-O(1)\ RMQ\)的科技。

大概分三步来讲。

O(n)-O(1) 加减一序列RMQ

把序列按照\(B=\frac{log_2{n}}{2}\)分块,那么我们现在有\(n/B\)个块。

注意到块内可能的序列变化情况只有\(O(2^B)=O(\sqrt{n})\)种，我们显然可以通过预处理快速计算出每个块的最小值的位置。

同时还能计算出每个块的每个前缀和每个后缀的最小值的位置。

然后，我们用普通的\(ST\)表做法处理只保留每个块最小值的序列，这里复杂度为 \(O(\frac{n}{B}*log_2{\frac{n}{B}})=O(n)\)。

然后询问的时候用分块的那种做法即可，大块和边界都是\(O(1)\)的，故做到了\(O(n)-O(1)\)

O(n)-O(1) LCA

考虑把\(LCA\)问题转化为欧拉序\(RMQ\)。

不难发现关于深度的欧拉序显然是一个加减一序列，故可以做到\(O(n)-O(1)\)

O(n)-O(1) 任意序列RMQ

对该序列线性复杂度建立笛卡尔树，然后套用\(O(n)-O(1)\)LCA即可。