决策单调性优化dp学习笔记

决策单调性

区间包含单调性

$$L \leq l \leq r \leq R \\ w(l,r) \leq w(L,R)$$

证明区间包含单调性只需证明下式即可

$$w(l,r)\leq w(l-1,r) \\ w(l,r)\leq w(l,r+1)$$

四边形不等式

$$l_1 \leq l_2 \leq r_1 \leq r_2 \\ w(l_1,r_1)-w(l_1,r_2)\leq w(l_2,r_1)-w(l_2,r_2)$$

证明四边形不等式只需证明下式即可

$$w(l,r)-w(l,r-1) \leq w(l-1,r)-w(l-1,r-1)$$

若等号恒成立，则称其满足四边形恒等式。

一些有用的性质

$1.$任意个满足 区间包含单调性/四边形不等式 的二元函数的线性组合依然满足 区间包含单调性/四边形不等式。

$2.$若$w(l,r)=f(r)-g(l)$则二元函数$w$满足四边形恒等式。当$f,g$单调递增时，$w$还满足区间包含单调性。

$3.$$h(x)$是凸函数，$w(l,r)$满足区间包含单调性和四边形不等式，则$h(w(l,r))$也满足四边形不等式。

$4.$$h(x)$是凸函数且单调递增，$w(l,r)$满足区间包含单调性和四边形不等式，则$h(w(l,r))$也满足区间包含单调性和四边形不等式。

区间dp的优化

​ $dp$方程形如下式：

$$f[l][r]=min\{ f[l][k]+f[k+1][r]) \}+w(l,r)$$

​ 若$w$满足区间包含单调性和四边形不等式，则有下定理成立

$$g[l][r-1]\leq g[l][r] \leq g[l+1][r]$$

序列分段dp的优化

​ $dp$方程形如下式：

$$f[i][j]=min\{f[k][j-1]+w(k+1,i)\}$$

​ 若$w$满足区间包含单调性和四边形不等式，则有下定理成立

$$g[i][j-1]\leq g[i][j] \leq g[i+1][j]$$

    for(int i=1;i<=m;i++)f[n+1][i]=n-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i][1]=0,dp[i][1]=w(1,i);

    for(int j=2;j<=m;j++)
    for(int i=n;i>=j;i--)
    for(int k=f[i][j-1];k<=f[i+1][j];k++)
    if(dp[i][j]>dp[k][j-1]+w(k+1,i))
    {
        f[i][j]=k;
        dp[i][j]=dp[k][j-1]+w(k+1,i);
    }