ICPC2018焦作 G题 Shortest Paths on Random Forests

Pro：

https://codeforces.com/gym/102028/problem/G

给定\(n\),\(m\)

对于一个随机的大小为\(n\)的森林

计算下式的期望值

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \delta^2(i,j) \]

其中，\(\delta(i,j)\)表示\(i\)和\(j\)之间的路径长度。

特殊的，\(i\)和\(j\)不连通时，\(\delta(i,j)=m\)。

\(n<=2*10^5\)

Sol:

生成函数搞一搞

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1100000
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const int o=3,ki=149,mo=998244353;
int mod(int x){return (x%mo+mo)%mo;}
int inc(int x,int k){x+=k;return x<mo?x:x-mo;}
int dec(int x,int k){x-=k;return x>=0?x:x+mo;}
int ksm(int x,int k)
{
	if(k<0)k+=mo-1;int ans=1;
	while(k){if(k&1)ans=1ll*ans*x%mo;k>>=1;x=1ll*x*x%mo;}
	return mod(ans);
}
int inv(int x){return ksm(x,mo-2);}
int read()
{
	char ch=0;int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();}
	return x*flag;
}
void write(int x)
{
	if(!x)return (void)putchar(48);
	if(x<0)putchar(45),x=-x;
	int len=0,p[20];
	while(x)p[++len]=x%10,x/=10;
	for(int i=len;i>=1;i--)putchar(p[i]+48);
}
int rev[N];
void ntt(int *f,int n,int flag)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
		if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	}
	for(int k=2,kk=1;k<=n;k<<=1,kk<<=1)
	{
		int wn=ksm(o,(mo-1)/k);
		if(flag==-1)wn=inv(wn);
		for(int i=0;i<n;i+=k)
		for(int j=0,w=1;j<kk;j++,w=1ll*w*wn%mo)
		{
			int t=1ll*w*f[i+j+kk]%mo;
			f[i+j+kk]=dec(f[i+j],t);f[i+j]=inc(f[i+j],t);
		}
	}
	if(flag==-1)
	{
		int k=inv(n);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=1ll*f[i]*k%mo;
	}
}
int a[N],b[N];
void poly_ml(int n)
{
	int len=1;while(len<2*n-1)len<<=1;
	for(int i=n;i<len;i++)a[i]=0;
	ntt(a,len,+1);
	for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*a[i]%mo;
	ntt(a,len,-1);
}
void poly_mul(int n,int m)
{
	int len=1;while(len<n+m-1)len<<=1;
	for(int i=n;i<len;i++)a[i]=0;
	for(int i=m;i<len;i++)b[i]=0;
	ntt(a,len,+1);ntt(b,len,+1);
	for(int i=0;i<len;i++)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mo;
	ntt(a,len,-1);
}
int v[N],fv[N];
void poly_inv(int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)v[i]=v[i+n]=fv[i+n]=0;
	for(int len=1;len<2*n;len<<=1)
	{
		if(len==1){v[0]=inv(fv[0]);continue;}
		for(int i=0;i<len;i++)a[i]=v[i],b[i]=fv[i],a[i+len]=0,b[i+len]=0;
		ntt(a,2*len,+1),ntt(b,2*len,+1);
		for(int i=0;i<2*len;i++)a[i]=1ll*a[i]*a[i]%mo*b[i]%mo;
		ntt(a,2*len,-1);
		for(int i=0;i<len;i++)v[i]=dec(2ll*v[i]%mo,a[i]);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)v[i+n]=fv[i]=fv[i+n]=0;
}
int d[N],fd[N];
void poly_der(int n,int flag)
{
	for(int i=0;i<n;i++)d[i]=d[i+n]=0;
	if(flag==+1)for(int i=0;i<n-1;i++)d[i]=1ll*(i+1)*fd[i+1]%mo;
	if(flag==-1)for(int i=1;i<n+1;i++)d[i]=1ll*fd[i-1]*inv(i)%mo;
	for(int i=0;i<n;i++)fd[i]=0;
}
int l[N],fl[N];
void poly_ln(int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)l[i]=l[i+n]=fl[i+n]=0;
	int len=1;while(len<n)len<<=1;
	for(int i=0;i<len;i++)fv[i]=fl[i];poly_inv(len);
	for(int i=0;i<len;i++)fd[i]=fl[i];poly_der(len,+1);
	for(int i=0;i<len;i++)a[i]=v[i],b[i]=d[i];poly_mul(len,len);
	for(int i=0;i<len;i++)fd[i]=a[i];poly_der(len,-1);
	for(int i=0;i<n;i++)l[i]=d[i],l[i+n]=fl[i]=fl[i+n]=0;
}
int e[N],fe[N];
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)return (void)(e[l]=l?1ll*e[l]*inv(l)%mo:1);
	int n=0,m=0,mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	for(int i=l;i<=mid;i++)a[n++]=e[i];
	for(int i=0;i<=r-l+1;i++)b[m++]=fe[i];
	poly_mul(n,m);
	for(int i=mid+1;i<=r;i++)e[i]=inc(e[i],a[i-l-1]);
	solve(mid+1,r);
}
void poly_exp(int n)
{
	for(int i=0;i<n;i++)e[i]=e[i+n]=fe[i+n]=0;
	for(int i=0;i<n;i++)fe[i]=1ll*(i+1)*fe[i+1]%mo;
	solve(0,n-1);
	for(int i=0;i<n;i++)e[i+n]=fe[i]=fe[i+n]=0;
}
int fac[N],vac[N];
void prepare(int n)
{
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;
	vac[n]=inv(fac[n]);for(int i=n;i>=1;i--)vac[i-1]=1ll*vac[i]*i%mo;
}
int C(int n,int m){return n>=m?1ll*fac[n]*vac[m]%mo*vac[n-m]%mo:0;}
int p[N],w[N],k[N],f[N],g[N],h[N];
void work()
{
	int n=2e5;prepare(n);
	
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=1ll*ksm(i,i-2)*vac[i]%mo,w[i]=1ll*p[i]*i%mo*i%mo;
	for(int i=0;i<=n;i++)fe[i]=p[i];poly_exp(n+1);e[0]=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=e[i];f[0]=0;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=1ll*C(i,2)*p[i]%mo,b[i]=f[i];a[0]=0;b[0]=1;
	poly_mul(n+1,n+1);for(int i=0;i<=n;i++)g[i]=a[i];g[0]=0;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=w[i];a[0]=0;	
	poly_ml(n+1);for(int i=0;i<=n;i++)k[i]=1ll*inv(2)*a[i]%mo;k[0]=0;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=a[i],b[i]=w[i];a[0]=b[0]=0;
	poly_mul(n+1,n+1);for(int i=0;i<=n;i++)k[i]=inc(k[i],a[i]);k[0]=0;
	
	for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=k[i],b[i]=f[i];a[0]=0;b[0]=1;
	poly_mul(n+1,n+1);for(int i=0;i<=n;i++)h[i]=a[i];h[0]=0;
	
	
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		p[i]=1ll*p[i]*fac[i]%mo;
		w[i]=1ll*w[i]*fac[i]%mo;
		k[i]=1ll*k[i]*fac[i]%mo;
		f[i]=1ll*f[i]*fac[i]%mo;
		g[i]=1ll*g[i]*fac[i]%mo;
		h[i]=1ll*h[i]*fac[i]%mo;	
	}
}
int main()
{
	work();
	int t=read();
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		int n=read(),m=read();
		write(1ll*inc(1ll*m*m%mo*dec(1ll*f[n]*C(n,2)%mo,g[n])%mo,h[n])*inv(f[n])%mo),putchar('\n');
	}
	return 0;
}