ICPC2020上海 E题 The Journey of Geor Autumn

Pro：

https://codeforces.com/gym/102900/problem/E

给定\(n,k\)

统计长度为n的

满足对于任意\(i>k\) , \(a_i>min(a_{i-1},a_{i-2}......a_{i-k})\)

的排列方案数

\(n,k<=10^7\)

Sol：

考虑从小到大填入数字

填完\(1\)后，\(2\)只能填在1后面的k个位置之中

同理，3只能填在1或2后面的k个位置之中

继续下去

发现每一个数字都只能填在

所有比它小的数字所占位置的后面连续k个位置组成的连续段

然后填入它后，又可以使这个连续段变长。

这个过程显然可以通过一个\(dp\)来计算

\(dp[n][m]\)表示填到数字\(n\)，当前连续段的长度为\(m\)的方案数

转移考虑使可行连续段长度+1,+2,+3.....+k或-1

用一个前缀和优化即可做到O(n^2)

继续想下去

可以一个更优秀的转移方式

即dp[n]表示当前位置最靠后的数字写在n这个位置的方案数

每次向后转移下一个最后的位置在哪里

然后同时快速计算填写中间空隙的方案数

式子推一下大概张这个样子

\[\begin{align*} f[m]&=\sum_{i=1}^k {f[m-i]*A(n-1-(m-i),i-1)} \\ &=\sum_{i=1}^k {f[m-i]*\frac{n-1-(m-i)!}{(n-m)!}} \\ 所以:f[m]*(n-m-1)!*(n-m)&=\sum_{i=1}^k {f[m-i]*(n-(m-i)-1)!} \\ 即:g[m]*(n-m)&=\sum_{i=1}^k g[m-i] \end{align*} \]

用一个前缀和优化即可做到O(n)