小米网络赛 热身赛 J题 XOR

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/8409/J

Pro：
给定\(n\)个数字
求所有异或和为\(0\)的子集的子集大小之和
\(n<=1e5\)

Sol：
考虑一个弱化版本
求所有异或和为\(0\)的子集个数
考虑求一个线性基
设其大小为m
答案即为\((2^{n-m}-1)\)
证明的话考虑
把答案分成两部分
包含非基底元素的和不包含非基底元素的

1.包含非基底元素
性基中的元素可以随便选
因为它们组合出的任意元素都一定可以被基底中的一组解唯一表示，从而异或和为0
因此贡献为\((2^{n-m}-1)\)

2.不包含非基底元素
有线性基的性质可知其=0一定只有平凡解
故这部分的贡献为0

在这个做法的基础上稍作改动就可以得到
求所有异或和为\(k\)的子集个数的做法
这里不做赘述

再来考虑本题
根据刚才的讨论
我们很容易得到一个\(n*64*64\)的做法
即对于每个元素分别算贡献
也就是去计算其它n-1个元素的异或和为k的子集个数
这个只需要维护一个前缀线性基和后缀线性基即可
但显然这个题还需要一个更为优秀的做法

仔细观察可以发现
我们对这n个元素求一遍线性基后
非基底元素的贡献是非常好计算的
设线性基大小为m
对于任意非基底元素，它的贡献显然是\(2^{n-m-1}\)
因为非基底元素中任意一个组合都可以被基底元素表示
这样的话只需要再对非基底元素使用原方法进行计算
总复杂度O(64^3+n*logn)

#include<bits/stdc++.h>
#define M 63
#define N 110000
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
#define ull unsigned long long
using namespace std;
const ll h=3,ki=149,mo=1e9+7;
ll mod(ll x){return (x%mo+mo)%mo;}
ll inc(ll x,ll k){x+=k;return x<mo?x:x-mo;}
ll dec(ll x,ll k){x-=k;return x>=0?x:x+mo;}
ll ksm(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	while(k){if(k&1)ans=1ll*ans*x%mo;k>>=1;x=1ll*x*x%mo;}
	return ans;
}
ll inv(ll x){return ksm(mod(x),mo-2);}
ll read()
{
	char ch=0;ll x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();}
	return x*flag;
}
void write(ll x)
{
	if(!x)return (void)putchar(48);
	if(x<0)putchar(45),x=-x;
	ll len=0,p[20];
	while(x)p[++len]=x%10,x/=10;
	for(ll i=len;i>=1;i--)putchar(p[i]+48);
}
const db eps=1e-7,inf=1e9+7,pi=acos(-1);
db Read(){db x;scanf("%lf",&x);return x;}
void Write(db x){printf("%lf",x);}
struct node
{
	ll size,f[M];
	void clear(){size=0;for(ll i=62;i>=0;i--)f[i]=0;}
	bool query(ll x)
	{
		for(ll i=62;i>=0;i--)if(1ll<<i&x){if(f[i])x^=f[i];else return false;}
		return true;
	}
	bool insert(ll x)
	{
		for(ll i=62;i>=0;i--)if(1ll<<i&x){if(f[i])x^=f[i];else{size++,f[i]=x;return true;}}
		return false;
	}
};
node merge(const node &a,const node &b)
{
	node ans=a;
	for(ll i=62;i>=0;i--)if(b.f[i])ans.insert(b.f[i]);
	return ans;
}
node S,P;
ll a[N],p[N];
int main()	
{
	ll n;
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		ll ans=0,cnt=0;
		S.clear();P.clear();
		for(ll i=1;i<=n;i++)
		{
			a[i]=read();
			if(S.insert(a[i]))p[++cnt]=i;else P.insert(a[i]);
		}
		if(S.size<n)ans=1ll*(n-S.size)*ksm(2,n-S.size-1)%mo;
		for(ll i=1;i<=cnt;i++)
		{
			node t=P;
			for(ll j=1;j<=cnt;j++)if(i!=j)t.insert(a[p[j]]);
			if(t.query(a[p[i]]))ans=inc(ans,ksm(2,n-1-t.size));
		}
		write(ans);putchar('\n');
	}
	return 0; 
}