P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和

pro:
https://www.luogu.com.cn/problem/P6667

sol:
就是一个大力推式子的题

但推导过程实在太长了

就不写了

简单来说就是

先把看到C(n,k)*k^i这个经典形式考虑转下降幂多项式

转完以后二项式定理合并一下

得到这个式子

\[\sum_{i=0}^m a_i \sum_{k=0}^n x^k*\frac{n!}{(n-t)!}*S_i^k \]

然后再去拆斯特林数

胡乱化简一下

按照TJOI求和那个题的套路就能转成一个卷积的形式

最后的式子长这个样

\[\sum_{k=0}^{min(n,m)} x^k*\frac{n!}{(n-t)!}*\sum_{t=0}^k \frac{f(t)}{t!}*\frac{(-1)^{k-t}}{(k-t)!} \]

NTT即可

发现网上似乎很少有我这种做法？？？

qwq

#include<bits/stdc++.h>
#define N 440000
#define L 400000
#define eps 1e-7
#define inf 1e9+7
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
#define ull unsigned long long
using namespace std;
inline int read()
{
	char ch=0;
	int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();}
	return x*flag;
}
const int h=3,mo=998244353;
int ksm(int x,int k)
{
	int ans=1;
	while(k){if(k&1)ans=1ll*ans*x%mo;k>>=1;x=1ll*x*x%mo;}
	return ans;
}
int moy[N]; 
int inv(int x)
{
	x=(x%mo+mo)%mo;
	if(x<L)
	{
		if(!moy[x])moy[x]=ksm(x,mo-2);
		return moy[x];
	}
	else return ksm(x,mo-2);
}
int rev[N];
void ntt(int *f,int n,int flag)
{
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
		if(i<rev[i])swap(f[i],f[rev[i]]);
	}
	for(int k=2,kk=1;k<=n;k<<=1,kk<<=1)
	{
		int wn=ksm(h,(mo-1)/k);
		if(flag==-1)wn=inv(wn);
		for(int i=0;i<n;i+=k)
		for(int j=0,w=1;j<kk;j++,w=1ll*w*wn%mo)
		{
			int t=1ll*w*f[i+j+kk]%mo;
			f[i+j+kk]=(f[i+j]-t)%mo;
			f[i+j]=(f[i+j]+t)%mo;
		}
	}
	if(flag==-1)
	{
		int k=inv(n);
		for(int i=0;i<n;i++)f[i]=(1ll*f[i]*k%mo+mo)%mo;
	}
}
int a[N],b[N];
void poly_ml(int n)
{
	ntt(a,n,+1);
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*a[i]%mo;
	ntt(a,n,-1);
}
void poly_mul(int n)
{
	ntt(a,n,+1);ntt(b,n,+1);
	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mo;
	ntt(a,n,-1);
}
int fac[N],vac[N];
int main()
{
	int n=read(),m=read(),x=read();
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mo;
	vac[m]=inv(fac[m]);for(int i=m;i>=1;i--)vac[i-1]=1ll*vac[i]*i%mo;
	int len=1;
	while(len<(m+1)+(m+1)-1)len<<=1;
	for(int i=0;i<=m;i++)
	{
		a[i]=1ll*read()*vac[i]%mo;
		b[i]=1ll*ksm(-1,i)*vac[i]%mo;
	}	
	poly_mul(len);
	int ans=0;
	for(int i=0,t=1;i<=min(n,m);t=1ll*t*(n-i)%mo,i++)
	ans=(ans+1ll*t%mo*ksm(x,i)%mo*a[i]%mo)%mo;
	printf("%d",(ans%mo+mo)%mo);
	return 0;
}