2020中国大学生程序设计竞赛（CCPC）-网络选拔赛 题解

1001

1002

题意：给定一个n个点的完全图，边权为lcm(i+1,j+1)，求最小生成树。

考虑这样一个构造方法

所有数字都向自身的最小质因数连边

这样可以保证每个数字的贡献都是其本身，达到了理论最小。（lcm一定比自己本身要大）

然后就有了k棵以质数为根的树

然后考虑连接这k棵树

显然质数之间的lcm就是它们的乘积

所以所有根都和2连边即可

考虑计算答案

记\(tot\)为2到n+1的所有素数的和

\[\begin{align*} ans&=2*(tot-2)-tot+\sum_{i=2}^{n+1} i \\ &=tot - 4+\sum_{i=2}^{n+1} i \\ &=tot+\frac{n^2+3n-8}{2} \\ \end{align*} \]

考虑如何计算tot

这是一个min25模板题，不再赘述

实际上，也可以通过分块打表的方法通过此题。

1003

签到题

显然最后一个用距离出口最近的即可。

1007

题意：给出一个字符串，将其重新排列，使得该字符串的border最大

比较显然的构造是出现次数最多的字母全部放在开头，然后border就是该字母出现的次数

由border的简单性质可知答案不可能比这个大，因此具有正确性

1010

签到题

按照题意模拟即可

1013

题意：给定一个多项式，操作n-1次。第k次操作为令\(f(x)=B_k*f'(x)+C_k*f(x)\)。求操作n-1次后的多项式。

考虑算贡献

显然原多项式的高次项会对最终答案的低次项产生贡献

考虑怎么算x^k对xi的贡献

首先贡献系数的话

如果\(bk=ck=1\)的话显然就是一个NE-Latice-Path问题

贡献系数也就是一个组合数

既然有了系数

那么只需要模拟NE-Latice-Path的计算过程

设一个生成函数#h_k(x)=B_k*x+C_k

把这n-1个单项式乘起来即可得到关于贡献系数的多项式

这一步需要通过类似线段树分治的分治NTT实现

这里一定要注意写的常数小一些

不要采取封装多项式的写法

这里我采用了类似

除此之外还要考虑求导本身产生的系数

简单推导发现\(x^k\)对\(x^i\)产生的贡献是\(\frac{k!}{i!}\)

整理一下

设：

最终多项式的系数为\(f_k\)

求导k次的贡献系数为\(g_k\)

\[\begin{align*} f_i&=\sum_{k=i}^n g_{k-i}*a_k*\frac{k!}{i!} \\ f_i*i!&=\sum_{k=i}^n g_{k-i}*a_k*k! \\ \end{align*} \]

发现这是一个下标差为定值的的卷积

是一个经典套路题

翻转数组后即可转化为正常形式的卷积

大力NTT即可

总复杂度\(O(nlog^2n)\)