CF1039D You Are Given a Tree

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给定一棵树，对于\(1<=k<=n\)求最多能在这棵树上选出多少条边不相交的路径。

Sol:
对于给定的k，显然有一个\(O(n)\)的贪心做法。

然后考虑设fi表示k=i时的答案，显然有\(fi<=n/i\)。

对于i<=\(\sqrt{n}\)时，\(f_i\)显然只有\(\sqrt{n}\)种取值。

对于i>=\(\sqrt{n}\)时，\(f_i<=\sqrt{n}\)，f也显然只有sqrt种取值。

然后，还可以发现，k从1到n的答案一定是单调的。

所以可以直接来一波二分，显然二分的次数不会超过\(\sqrt{n}\)次。

总复杂度\(O(n\sqrt{n}logn)\)

然而这个复杂度很难卡过去。

考虑一波根号分治。

从一到len暴力，剩下的二分。

复杂度是\(max(n*len,n^2*logn/len)\)

显然\(len=\sqrt{nlogn}\)最优。

这样复杂度会有一个不错的提升。

然后再把dfs计算答案换成按照dfs序计算答案，常数又小了不少，就卡过去了。

#include<iostream>
#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define N 1100000
#define L 1000000
#define eps 1e-7
#define inf 1e9+7
#define db double
#define ll long long
#define ldb long double
using namespace std;
inline int read()
{
	char ch=0;
	int x=0,flag=1;
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();if(ch=='-')flag=-1;}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*flag;
}
struct edge{int to,nxt;}e[N*2];
int num,head[N];
inline void add(int x,int y){e[++num]=(edge){y,head[x]};head[x]=num;}
int n,sq,times,p[N],id[N],fa[N],f[N],dp[N],ans[N],data[N];
void dfs(int x)
{
	id[x]=++times;p[times]=x;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].nxt)
	{
		int to=e[i].to;
		if(id[to])continue;
		fa[to]=x;dfs(to);
	}
}
int solve(int k)
{
	if(data[k]!=-1)return data[k];
	for(int o=n;o>=1;o--)
	{
		int x=p[o];
		f[x]=0;dp[x]=0;
		int m1=0,m2=0;
		for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].nxt)
		{
			int to=e[i].to;
			if(to==fa[x])continue;
			if(f[to]>=m1)m2=m1,m1=f[to];
			else m2=max(m2,f[to]);
			dp[x]+=dp[to];
		}
		if(m1+m2+1>=k)dp[x]++;
		else f[x]=m1+1;
	}
	data[k]=dp[1];
	return data[k];
}
int main()
{
	n=read();sq=min(n,(int)sqrt(n*20));
	num=-1;memset(head,-1,sizeof(head));
	memset(data,-1,sizeof(data));
	for(int i=1;i<=n-1;i++){int x=read(),y=read();add(x,y);add(y,x);}
	dfs(1);
	for(int i=1;i<=sq;i++)ans[i]=solve(i);
	int x=sq+1;
	while(x<=n)
	{
		ans[x]=solve(x);
		int l=x,r=n,mid;
		while(l<r)
		{
			mid=((l+r)>>1)+1;
			if(ans[x]==solve(mid))l=mid;
			else r=mid-1;
		}
		for(int i=x+1;i<=l;i++)ans[i]=ans[x];
		x=l+1;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}