Region Separation （CF1034C）

Region Separation(CF1034C)

---

明确题意：

1.每次砍完之后，所有联通快的权值和相等。

2.每次一个边集的边同时断，可以断多次边集。

---

题解：

和学长馈赠7类似，是加强版。

首先可以想到计算出每个子树的权值和——$siz$ (以 $1$ 为根)。

设切到最后每个联通块的权值和为 $k$ ，那么合法的 $k$ 满足 $k|siz_1$ 。

记 $cnt_k=\sum_{i=1}^n{[siz_i \equiv 0 (mod \ k)]}$ ，合法的 $k$ 就还要满足 $cnt_k=\frac{siz_1}{k}$ 。

证明：

$cnt_k$ 实际上是满足 $siz_i \equiv 0 (mod \ k)$ 的节点个数。

这些节点要选择断开与父节点相连的边，如果我们没有断开 $\frac{siz_1}{k}-1$ 条边（考虑到根节点不用断，实际上断开了 $\frac{siz_1}{k}-1$ 条边），也就没有把这棵树分成 $\frac{siz_1}{k}$ 个部分，那不可能每个部分的权值和为 $k$ 。

$\text{Q.E.D.}$

但是还有一个问题：$k$ 的范围达到了 $10^6\times 10^9$ ，开桶存完全是不现实的。

于是考虑转变一下 $cnt$ 的定义。

新定义：$cnt_s$ 为满足最后剩下了 $s$ 个联通块，要断开与祖先相连的边的点的个数。（可能说不太清楚，看式子吧，实际上是 $s=\frac{siz_1}{k}$，代换了一下，这样桶存的范围变成了 $10^6$ ）

既要满足：

$$cnt_s=\sum_{i=1}^{n}[siz_i \equiv 0(mod \ \frac{siz_1}{s})] ((1<s\le n) \land (s|siz_1))$$

合法条件是 $cnt_s=s$ 。

计算 $cnt$ ：

暴力枚举 $s$ 、 $i$ 复杂度为 $O(n^2)$ 。

发现：对于一颗权值和为 $siz_i$ 的子树来说，它如果能对 $s$ 做贡献，要满足：

$$siz_i\equiv 0(mod\ \frac{siz_1}{s})\\ siz_i=t\times \frac{siz_1}{s}\\ s=t\times \frac{siz_1}{siz_i}\\ $$

设 $d=\gcd(siz_1,siz_i)$ ，$siz_1=a\times d$ ，$siz_i=b\times d$ ，则 $gcd(a,b)=1$ 。

所以

$$s=t\times \frac{a}{b}$$

发现：当 $b|t$ 是，$s$ 才为整数，即对 $s$ 有贡献，所以 $s=g\times a(g=\frac{t}{b})$ 。

得出结论：当 $\frac{siz_1}{\gcd(siz_1,siz_i)}|s$ 时， $siz_i$ 会在 $cnt_s$ 中做贡献。

这里的计算是枚举 $\frac{siz_1}{\gcd(siz_1,siz_i)}$ 的倍数，调和级数，复杂度 $O(n \ln n)$ 。

这只是第一步：判断那些状态合法，接下来还要计算方案数。

设 $f_s$ 为最后剩下了 $s$ 个联通块的方案数。

初始化：$f_s=[cnt_s = s]$ 。

考虑转移：$f_s=\sum_{s|s_1}f_{s_1}$ （切一下成倍增加）。

注意：$f_1=1$ 需要特殊判一下。

最后这部分时间复杂度 $O(n \ln n)$ 。

---

Code moo~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register int
#define pc_ putchar(' ')
#define pc_n putchar('\n')
#define Bessie signed
const int CTR = 1e6 + 7, MOD = 1e9 + 7;
int n;
int a[CTR], fa[CTR], siz[CTR];
int cnt[CTR], f[CTR];
int ans;
int gcd(int x, int y)
{
    return !y ? x : gcd(y, x % y);
}
Bessie main()
{
    n = read();
    for(re i = 1; i <= n; ++i)
        a[i] = read();
    for(re i = 2; i <= n; ++i)
        fa[i] = read();
    for(re i = n; i; --i)
    {
        siz[i] += a[i];
        siz[fa[i]] += siz[i];
    }
    for(re i = 1; i <= n; ++i)
        if(siz[1] / gcd(siz[1], siz[i]) <= n)
            ++cnt[siz[1] / gcd(siz[1], siz[i])];
    for(re i = 1; i <= n; ++i)
        if(cnt[i])
            for(re j = i; j <= n; j += i)
                f[j] += cnt[i];
    for(re i = 1; i <= n; ++i)
        f[i] = (f[i] == i);
    for(re i = n; i > 1; --i)
    {
        if(f[i])
        {
            for(re j = i + i; j <= n; j += i)
                (f[i] += f[j]) %= MOD;
            (ans += f[i]) %= MOD;
        }
    }
    ot(ans + 1),pc_n;
    return 0;
}

---

$$\bm{hzoi-Creator\_157}$$