数据结构与算法（十七）：B树，B+树

一、什么是多路查找树#

二叉树有诸多便利之处，但是当二叉树节点极多时，二叉树的构建速度就会受影响，而且过高的层数也会导致对树的操作效率降低。

对于树的查找而言，树的高度决定了查找的时间下限，但是同样数量的节点，如果要高度小那每一层容纳的节点就要多，而二叉树每一层固定的节点数导致的高度难以降低，为此每一个节点都能拥有多个子节点的多叉树(multi way tree)就出现了.

B树，B+树都是多叉树

二、B树#

B树也称B-树,它是一颗多路平衡查找树。

2-3树是最简单的B树，它具有以下特点：

• 2-3树的所有叶子节点都在同一层（只要是B树都满足该条件）
• 有两个子节点的节点叫二节点，二节点要么没有子节点，要么有两个子节点。三节点本身包含两个数据项
• 有三个子节点的节点叫三节点，三节点要么没有子节点，要么有三个子节点。二节点本身包含一个数据项
• 2-3树是由二节点和三节点构成的树。

我们以数列{16,24,12,32,14,26,34,10,8,28,38,20}构建2-3树为例：

对于2-3树插入的特点，我们举几个具有代表性的例子：

• {16}插入24：由于24大于16，又16是一个二节点，他要么有两个值节点要么没有节点，所以只能插到16节点里，变成一个三节点
• {16,24}插入12：由于12小于16，又[16|24]是一个三节点，所以将[16|12]拆开，以16为父节点，24为右子节点，12作为为左子节点插入
• {16,24,12,32,14,26,34}插入10：按顺序找到[12|14]节点，将三节点拆开后，以12为父节点，14为左子节点，10作为为左子节点插入，由于插入10以后，树的所有叶子节点就不在同一层了，所以需要对其他子树进行调整，将[16|26]拆开，将26变为16的右子节点，原本的24与[32,34]节点变为24的左右子节点

除了2-3树以外，还有一种2-3-4树也是B树的一种，相比2-3树，它多了一个包含能3个数据项与四个子节点的四节点：

由于B树的关键字集合可以分布在整颗树上，如果查找的数据离根节点很近，此时查找会比B+树快

三、B+树#

B+树具有以下特点：

• B+树只有叶子节点存放数据（稠密索引），而非叶子节点只作为索引（稀疏索引），这使得非叶子节点所能保存的关键字大大增加
• B+树的叶子节点存放的数据是有序的

相对B树，B+具有以下优点：

1. B+树查询速度更稳定：B+所有关键字数据地址都存在叶子节点上，所以每次查找的次数都相同
2. B+树的层级更少：相较于B树B+每个非叶子节点存储的关键字数更多，树的层级更少所以查询数据更快；
3. B+树天然具备排序功能：B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询大小区间的数据时候更方便，数据紧密性很高，缓存的命中率也会比B树高
4. B+树全节点遍历更快：B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，而不需要像B树一样需要对每一层进行遍历，这有利于数据库做全表扫描

也由于这些优点，在mysql中，索引实现是基于B+树的。