数据结构与算法（十六）：平衡二叉树
一、什么是平衡二叉树
1.概述
平衡二叉树（AVL树）是一种带有平衡条件的二叉搜索树。它的特性如下：
- AVL树的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1
- AVL树的左右两个子树都是一棵平衡二叉树
举个例子，如上图所示：
- 第一棵树左树高2，右树高1，差值为1，是一颗AVL树；
- 第二棵树左树高2，右树高2，差值为0，是一颗AVL树；
- 第三棵树左树高3，右树高1，差值为2，不是一颗AVL树；
红黑树就是一直AVL树。
2.为什么需要平衡二叉树
当我们使用二叉排序树的时候，当连续插入顺序的节点的时候就会出现问题。比如，我们插入{1,2,3,4,5}这样一个数组：
可见该树左树节点全为空，比起树更像单链表，这也导致了该树的插入和查询速度明显的下降，查询速度甚至因为每次多处一个比较左树的操作导致还不如单链表。为了避免这种情况，我们引入的AVL树。
二、AVL树左旋转
1.思路分析
AVL为了避免左右树高度差超过1，在可能导致这种情况的插入或者删除操作时会进行旋转。
我们举个例子，现在有数列{4,3,6,5,7}，当插入8后，现在的得到的排序树如下图：
明显不再是一个AVL树，所以需要进行左旋转：
-
我们以当前根节点值再创建一个新节点
newNode -
让新节点的左子节点指向根节点的左子节点
newNode.left = root.left -
让新节点的右子节点指向根节点的右子节点的左子节点
newNode.right = root.right.left
-
把根节点的值换成右子节点的值
root.val = root.right.val -
把根节点的右子节点指向其右子节点的右子节点
root.right = root.right.right -
让根节点的左子节点指向新节点（根节点的右子节点成为了新的根节点）
root.left = newNode
我们调整一下图片样式，就可以直观的看到左旋转后树的样子：
网上看到一个非常形象直观的动图：
不难理解：左旋的目的是降低左子树的高度
2.代码实现
由于AVL树是基于BST改进的一种数据结构，所以这里的AVL树类继承了BST的方法和代码，使用同一个节点类，这里具体的代码可以参考之前的文章。
我们先创建一个继承BST的AVL树类：
/**
* @Author：CreateSequence
* @Date：2020-07-23 19:01
* @Description：平衡二叉树
* 由于是在二叉排序树的基础上改进，这里直接继承了二叉排序树类
*/
public class AVLTree extends BinarySortTree{
public AVLTree(BinarySortTreeNode root) {
super(root);
}
}
由于旋转的条件是左右子树高度差大于1，所以我们需要有几个方法来判断树的高度：
/**
* 获取当前节点的右子树高度
* @param node
* @return
*/
public int getRightHeight(BinarySortTreeNode node) {
if (node.right == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.right);
}
/**
* 获取当前节点的左子树高度
* @param node
* @return
*/
public int getLeftHeight(BinarySortTreeNode node){
if (node.left == null) {
return 0;
}
return getHeight(node.left);
}
/**
* 获取以当前节点为根节点的树高度
* @param node
* @return
*/
public int getHeight(BinarySortTreeNode node) {
//判断当前节点的左/右节点是否为空，是返回0，否则遍历返回当前节点的左右树最高值
return Math.max(node.left == null ? 0 : getHeight(node.left), node.right == null ? 0 : getHeight(node.right)) + 1;
}
接着我们需要一个让树左旋的代码，步骤同思路分析：
/**
* 排序树左旋转
*/
private void leftRotate() {
// 1.创建新节点，与根节点值相同
BinarySortTreeNode node = new BinarySortTreeNode(root.val);
//2.让新节点左子节点指向根节点左子节点
node.left = root.left;
//3.让新节点的右子节点指向根节点的右子节点的左子节点
node.right = root.right.left;
//4.让根节点的值变为其右子节点的值
root.val = root.right.val;
//5.把根节点的右子节点指向其右子节点的右子节点
root.right = root.right.right;
//6.让根节点的左子节点指向新节点
root.left = node;
}
然后我们再原先旧的添加方法上进行改进：
当添加完一个节点后，我们判断左右子树的高度差是否大于1，如果是就进行左旋
/**
* 重写二叉排序树的节点添加方法，当添加完节点后左子树与右子树高度差大于1时，让树进行左旋转，若情况相反则进行右旋转
* @param node
*/
@Override
public void add(BinarySortTreeNode node) {
super.add(node);
//添加完节点后，判断左子树与右子树高度差是否大于1
int disparity = getRightHeight(root) - getLeftHeight(root);
if (disparity > 1) {
System.out.println("高度差:" + disparity + ",左旋转！");
//左子树与右子树高度差大于1就左旋
leftRotate();
}
}
注意：截止目前，仅仅只对左子树高度较高的情况作了处理！
三、AVL树的双旋转
左旋转是为了降低左子树的高度，但是如果是右子树高度过高，我们就需要右旋，事实上，一个完整的AVL树，应当是能够双旋的。
右旋的步骤与左旋基本一致，但是方向不同：
-
我们以当前根节点值再创建一个新节点
newNode -
让新节点的右子节点指向根节点的右子节点
newNode.right = root.right -
让新节点的左子节点指向根节点的左子节点的右子节点
newNode.left = root.left.right -
把根节点的值换成左子节点的值
root.val = root.left.val -
把根节点的左子节点指向其左子节点的左子节点
root.left = root.left.left -
让根节点的右子节点指向新节点（根节点的左子节点成为了新的根节点）
root.right = newNode
实现代码：
/**
* 排序树右旋转
*/
private void rightRotate() {
// 1.创建新节点，与根节点值相同
BinarySortTreeNode node = new BinarySortTreeNode(root.val);
//2.让新节点右子节点指向根节点右子节点
node.right = root.right;
//3.让新节点的左子节点指向根节点的左子节点的右子节点
node.left = root.left.right;
//4.让根节点的值变为其左子节点的值
root.val = root.left.val;
//5.把根节点的左子节点指向其左子节点的左子节点
root.left = root.left.left;
//6.让根节点的右子节点指向新节点
root.right = node;
}
现在为排序树的add方法添加右旋的情况：
/**
* 重写二叉排序树的节点添加方法，当添加完节点后左子树与右子树高度差大于1时，让树进行左旋转，若情况相反则进行右旋转
* @param node
*/
@Override
public void add(BinarySortTreeNode node) {
super.add(node);
//添加完节点后，判断左右树高度差是否大于1
int disparity = getRightHeight(root) - getLeftHeight(root);
if (disparity > 1) {
System.out.println("高度差:" + disparity + ",左旋转！");
//左子树与右子树高度差大于1就左旋
leftRotate();
}else if (- disparity > 1){
//右子树与左子树高度差小于1就左旋
rightRotate();
}
}
