NOIP2013 货车运输 [LCA+最大生成树]
Description#
A 国有 n 座城市，编号从 1 到 n，城市之间有 m 条双向道路。每一条道路对车辆都有重量限制，简称限重。现在有 q 辆货车在运输货物， 司机们想知道每辆车在不超过车辆限重的情况下，最多能运多重的货物。
Input#
输入文件第一行有两个用一个空格隔开的整数 n<10,000，m<50,000，表示 A 国有 n 座城市和 m 条道路。 接下来 m 行每行 3 个整数 x、 y、 z，每两个整数之间用一个空格隔开，表示从 x 号城市到 y 号城市有一条限重为 z 的道路。
接下来一行有一个整数 q<30,000，表示有 q 辆货车需要运货。
接下来 q 行，每行两个整数 x、y，之间用一个空格隔开，表示一辆货车需要从 x 城市运输货物到 y 城市。
Output#
输出共有 q 行，每行一个整数，表示对于每一辆货车，它的最大载重是多少。如果货车不能到达目的地，输出-1。
Example#
Input :
4 3
1 2 4
2 3 3
3 1 1
3
1 3
1 4
1 3
Output :
3
-1
3
思路#
首先便是想到了Floyd的暴力方法，状态转移方程也不难推出：w[i][j]=min(w[i][j], w[i][k]+w[k][j]);但是n3次方时间复杂度和n2的空间复杂度是显然不可取的。
于是我们思考，可以发现有一些权值较小的边是不会被走过的。正如样例中的第三条边，就算有其他的很多条边，这条边无论如何也是不会被走过的。于是我们想到了可以将图中这样的边去掉，按照这个思路我们便想到了构造最大生成树，将其余的边去除。
得到了这样一个树之后，我们便考虑如何求出两个节点之间最小边权的最大值（即为题中的最大载重），因为这两点之间的路径是唯一的，我们只需要找出这条路径便可以得到答案。我们可以通过LCA来做到这一点，我求LCA的方法是先从每一个根节点进行搜索，求出节点深度等信息，然后利用这些信息进行树上倍增。
于是我们可以得出大体思路：首先重新建图，构造出最大生成树，然后在最大生成树上求LCA来回答询问。
代码#
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define MAXN 10005
#define INF 999999999
using namespace std;
struct Edge1{
int x,y,dis;
}edge1[50005]; //题目所给的图
struct Edge2{
int to,next,w;
}edge2[100005]; //最大生成树的图
int cnt,n,m,head[MAXN],deep[MAXN],f[MAXN],fa[MAXN][21],w[MAXN][21];
//f数组表示并查集中的父节点，fa数组表示树上的父节点，w数组表示最大载重
bool vis[MAXN];
void addedge(int from, int to, int w)
{ //前向星存图
edge2[++cnt].next=head[from];
edge2[cnt].to=to;
edge2[cnt].w=w;
head[from]=cnt;
return ;
}
bool CMP(Edge1 x, Edge1 y)
{
return x.dis>y.dis; //将边权从大到小排序
}
int find(int x){ //并查集寻找父节点
if(f[x]!=x) f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
void kruskal()
{
sort(edge1+1, edge1+m+1, CMP);
for(int i=1; i<=n; i++)
f[i]=i; //并查集初始化
for(int i=1; i<=m; i++)
if(find(edge1[i].x)!=find(edge1[i].y)){
f[find(edge1[i].x)]=find(edge1[i].y);
addedge(edge1[i].x, edge1[i].y, edge1[i].dis);
addedge(edge1[i].y, edge1[i].x, edge1[i].dis); //无向图，双向加边
}
return ;
}
void dfs(int node)
{
vis[node]=true;
for(int i=head[node]; i; i=edge2[i].next){ //前向星遍历
int to=edge2[i].to;
if(vis[to]) continue;
deep[to]=deep[node]+1; //计算深度
fa[to][0]=node; //储存父节点
w[to][0]=edge2[i].w; //储存到父节点的权值
dfs(to);
}
return ;
}
int lca(int x, int y)
{
if(find(x)!=find(y)) return -1; //不连通，输出-1
int ans=INF;
if(deep[x]>deep[y]) swap(x,y); //保证y节点更深
//将y节点上提到于x节点相同深度
for(int i=20; i>=0; i--)
if(deep[fa[y][i]]>=deep[x]){
ans=min(ans, w[y][i]); //更新最大载重（最小边权）
y=fa[y][i]; //修改y位置
}
if(x==y) return ans; //如果位置已经相等，直接返回答案
//寻找公共祖先
for(int i=20; i>=0; i--)
if(fa[x][i]!=fa[y][i]){
ans=min(ans, min(w[x][i], w[y][i])); //更新最大载重（最小边权）
x=fa[x][i];
y=fa[y][i]; //修改x,y位置
}
ans=min(ans, min(w[x][0], w[y][0]));
//更新此时x,y到公共祖先最大载重，fa[x][0], fa[y][0]即为公共祖先
return ans;
}
int main()
{
int x,y,z,q;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=m; i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
edge1[i].x=x;
edge1[i].y=y;
edge1[i].dis=z;
} //储存题目所给图
kruskal();
for(int i=1; i<=n; i++)
if(!vis[i]){ //dfs收集信息
deep[i]=1;
dfs(i);
fa[i][0]=i;
w[i][0]=INF;
}
//LCA初始化
for(int i=1; i<=20; i++)
for(int j=1; j<=n; j++){
fa[j][i]=fa[fa[j][i-1]][i-1];
w[j][i]=min(w[j][i-1], w[fa[j][i-1]][i-1]);
}
scanf("%d",&q);
for(int i=1; i<=q; i++){
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",lca(x,y)); //回答询问
}
return 0;
}
