AtCoder Beginner Contest 313

AtCoder Beginner Contest 313

G - Redistribution of Piles

题意翻译：

给定一个数列$a_i(a_i>0,i\in [1,n])$，和一个数$s$（初值为0），有两种操作

• A - 全局非零数减一，减去的和加到$s$

• B - 如果$s\ge n$ , $s\leftarrow (s-n)$ 数列全局加一

题解

不妨先排个序,设$a_i\le a_{i+1}$

那么，每次操作A, 一定是前面的数先变为零。那么我们考虑什么时候对答案的贡献会增加，

如果执行A， 再执行 B , 其间没有数值改变，那么这两次操作作废。

换句话说，我们仅仅执行有用的A，B操作。什么时候有用？

• 执行A,当前状态未到达过。

• 执行B,当前的数组差分情况刚刚发生改变。

那么全部有效的执行操作序列是形如“AAAABBB”（前缀为A,后缀为B）

显然，有效的操作序列与最终序列形成双射。

考虑A操作执行到把$a_i$变为零， 接着又把$a_{i+1}-1$， 即$(a_i,a_{i+1}]$ 。

那么当前可执行的B操作次数为

$$\sum _{k=1}^{a_{i+1}-a_i}\lfloor \frac{s+k\cdot (n-i)}{n}\rfloor$$

直接做的复杂度$O(n{A}_{max})$

我们考虑优化，注意到上面的式子相当于数一个线段(分子形如kx+b)下的点$(x,dn)$。

我们换一个角度看问题，我们求出每一个 $kn$上面，有多少个点。

可以得到

$$\sum _{k\in (0,N]}\lfloor \frac{a+dk}{m}\rfloor =\sum _{k\in (0,\lfloor \frac{dN+a}{m}\rfloor ]}\lfloor \frac{(a+dN)\mathrm{mod}m+km}{d}\rfloor$$

我们递归求解即可,函数如下

int solve(int N, int D, int A, int M) {
	if (!N) return 0;
	ll p = ((D / M) * (N * (N - 1) / 2) % mod + (A / M) * N % mod) % mod;
	D %= M, A %= M;
	if (D) add(p, solve((D * N + A) / M, M, (A + D * N) % M, D), mod);
	return p;
}