2024 National Invitational of CCPC (Zhengzhou), 2024 CCPC Henan Provincial Collegiate Programming Contest

目录

• F 优秀字符串
• J 排列与合数
• H 随机栈
• M 有效算法
• A Once In My Life
• B 扫雷 1
• L Toxel 与 PCPC II
• K 树上问题
• D 距离之比
• C 中二病也要打比赛
• G 扫雷 2
• I 378QAQ 和字符串

F 优秀字符串

签到，速杀。

J 排列与合数

其实也是签到。

全奇数情况的答案样例给了，含偶数的情况把偶数放最后即可。

因为细节挂了两发罚时。

H 随机栈

把所有 $0 \leq a_i \leq n$ 排序就是唯一的合法取出序列 $b$。

然后我们模拟：

1. 当 $0 \leq a_i \leq n$ 时，cnt[a[i]]++。

2. 当 $a_i=-1$ 时，考虑 $b$ 中待取那个数的 cnt。为 $0$ 则答案为 $0$；否则答案乘上 $\frac{cnt}{已取数的个数}$。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$，桶排并预处理逆元可以 $\mathcal{O}(n)$。

M 有效算法

二分合法的 $k$ 即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$。

A Once In My Life

构造 $123456789d \cdots$，后面预留 digit(n) 位使这个数 $\equiv 0 \pmod n$ 即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(T \log n)$。

B 扫雷 1

签到题，对价格取个后缀 $\min$ 即可，萌萌队友读错题写了半天。

L Toxel 与 PCPC II

诈骗题，因为 $x^4$ 增长很快，所以每轮清扫的 bug 数至多二十来个，暴力 DP 即可，时间复杂度 $\mathcal{O}(n\sqrt[4]{n})$。

K 树上问题

很板的换根 DP，每次换根不合法边数至多改变 $1$，不合法边数为 $0$ 的点就是答案，时间复杂度 $\mathcal{O}(n)$。

D 距离之比

容易注意到，两点在坐标系上确定的矩形越正，两点间贡献就越大。

换句话说，两点在坐标系上连线斜率越靠近 $1/-1$，贡献越大。

考虑把坐标轴顺/逆时针旋转 $45$ 度，则横坐标相邻的点对才会产生贡献，两种贡献取 max 就是答案。

简单解几知识：旋转后坐标变为 $\frac{1}{\sqrt{2}}(x \pm y)$，故直接对 $x \pm y$ 排序即可，时间复杂度为 $\mathcal{O}(\log n)$。

C 中二病也要打比赛

首先，左右端点数相同的子段最后一定会被推平成同一个数，我们把它看作“一个块”，相互接壤的块可以合并为一个新的块。

记录每个数最后出现的位置，容易实现上面的操作。

考虑每个块，如果把这个块推平成块内有的数，答案是块内不同数个数 $-1$，否则就是不同数个数。

为了代价最小，每个块只能推成块内有的数。

反正块连续，不妨把每个块看成一个数，问题就变成：序列每个位置可以填若干种数，求序列最长上升子序列。（一个数只可能出现在一个块内）

然后就是众所周知的导弹拦截了，时间复杂度 $\mathcal{O}(n \log n)$。

G 扫雷 2

唯一真史。

我最开始的想法是最外边一圈很复杂，考虑设法把它围起来。

又注意到 $T$ 字形能非常完美地避免 $2$ 的出现，于是得到了 $m \leq 4n-4$ 的构造方案雏形：
我们在左上角留一个 $\Gamma$ 形，然后一路绕最外圈走，头部留出一个 $T$ 字形，在拐角处特殊处理一下即可。

但在 $n=5$ 时，如果头走到靠近左下角，$T$ 字形中一格可能与 $\Gamma$ 形最下面的格子构成一个 $2$，需要特判。

对于 $m > 4n-4$，我们先用 $4n-4$ 个雷构造下面的图形：

潦草的像素图

*        *
**********
*        *
*        *
**********

记 $x=m-(4n-4)$，对 $x \pmod {(n-2)}$ 的雷，我们放在上面空的那行，剩下的在下面一行一行排下去就好。

时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。

I 378QAQ 和字符串

首先，我们暴力枚举 $p$。

改后串 $s$ 如果有周期 $p$，就有周期 $2p$，所以只需要枚举 $\left(\frac{n}{4},\frac{n}{2}\right]$。

串 $s$ 有周期 $p$，则 $s[1...n-p]=s[p+1...n]$，只需要这两个串失配次数不超过 $k$ 即可。

怎么快速找到失配位置呢？只需要快速找到两串 $lcp$ 即可。

这两个串都是 $s$ 的子串，匹配一段后剩下的也是 $s$ 的子串，所以我们可以对 $s$ 求 SA，利用 ST 表即可 $\mathcal{O}(1)$ 在每次失配后求两串剩余部分 $lcp$。

然后是选择把每个同余类推平成哪个字母，因为枚举的 $p \in \left(\frac{n}{4},\frac{n}{2}\right]$，每个同余类大小至多为 $4$，暴力即可。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log n + nk)$，用 SA-IS + 状压 RMQ 可以优化到 $\mathcal{O}(nk)$。