CF622F The Sum of the k-th Powers 题解

观前提示

本题解仅提供一个理论复杂度正确的解法，因为本题模数为 $10^9+7$，没有优秀 $\text{MTT}$ 板子的我被卡常了。

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正文部分

不妨设 $S_{n,m}=\sum_{i=0}^{n-1}i^m$，答案就是 $S_{n+1,k}$。

再设：

$$\begin{aligned} F(x) &= \sum_{i \geq 0} f_i x^i \\ &= \sum_{i \geq 0} \frac{S_{n,m}x^i}{i!} \\ &= \sum_{i \geq 0} \sum_{j=0}^{n-1} \frac{(jx)^i}{i!} \\ &= \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{i \geq 0} \frac{(jx)^i}{i!} \\ &= \sum_{i=0}^{n-1}e^{ix} \\ &= \frac{e^{nx}-1}{e^x-1} \\ &= \frac{x}{e^x-1} \cdot \frac{e^{nx}-1}{x} \end{aligned}$$

继续设：

$$\begin{aligned} G(x) &= \sum_{i \geq 0} \frac{g_ix^i}{i!}=\frac{x}{e^x-1} \\ F(x) &= G(x) \cdot \frac{e^{nx}-1}{x} \\ &= (\sum_{i \geq 0} \frac{g_ix^i}{i!}) \cdot (\sum_{i \geq 1}\frac{n^ix^{i-1}}{i!}) \\ &= (\sum_{i \geq 0} \frac{g_ix^i}{i!}) \cdot (\sum_{i \geq 0}\frac{n^{i+1}x^i}{(i+1)!}) \\ S_{n,m} &= m!f_m \\ &= m! \sum_{i=0}^m \frac{g_i}{i!} \cdot \frac{n^{m-i+1}}{(m-i+1)!} \\ &= \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^m \binom{m+1}{i}g_in^{m-i+1} \end{aligned}$$

又有 $\large G(x)=\frac{x}{e^x-1}=(\frac{e^x-1}{x})^{-1}=(\sum_{i \geq 0}\frac{x^i}{(i+1)!})^{-1}$，用 $\text{MTT}$ 求逆即可在 $\mathcal{O}(k \log k)$ 的时间复杂度内得到 $g_i$，进而求出 $S_{n+1,k}$。

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关于 $G(x)$

把 $g_i$ 求出来后，一个不搞 $\text{OI}$ 的同学一眼认出这个数列就是伯努利数。

所以 $G(x)$ 即为伯努利数的 $\text{EGF}$，上面的解法也是 $\mathcal{O}(n \log n)$ 求伯努利数的方法。