CF1685E The Ultimate LIS Problem 题解

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CF1685E The Ultimate LIS Problem

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题意概述

给定长为 $2n+1$ 的排列，对于 $m$ 次交换操作，求出每次操作后一个能使排列 $\text{LIS} \leq n$ 的循环移位 $k$，或报告无解。$(1 \leq n,m \leq 10^5)$

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Step 1

先不考虑操作，对一个排列考虑问题。

数据范围显然不支持我们 $\text{DP}$ ，$\text{LIS}$ 的限制看得我们一头雾水，索性 $\text{Dirworth}$ 一下。

根据 $\text{Dirworth}$ 定理，若 $\text{LIS}=i$，则覆盖原序列需要至少 $i$ 个下降序列。

所以 $\text{LIS} \leq n$ 等价于：原序列可以被 $n$ 个以内的下降序列覆盖。

我们不需要最小化 $\text{LIS}$，所以构造一个 $n$ 个下降序列的划分方式就足够了。

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Step 2

因为排列长为 $2n+1$，考虑掏出一个数，剩下的两两配对完再把它插回去。

一定存在让这剩下 $2n$ 个数能够两两配对成下降序列的循环移位。

更准确的说，一定存在让剩下 $2n$ 个数中较大的 $n$ 个与较小的 $n$ 个两两配对的循环移位。

为什么呢？

不妨把较大的数看作左括号，较小的数看做右括号，问题转成求一个循环移位使其构成合法括号序列。

规定左括号权值为 $1$，右括号权值为 $-1$，考虑该权值的前缀和。

当该权值在每个位置的前缀和均 $\geq 0$ 时，该序列较大的 $n$ 个数恰好能与该序列较小的 $n$ 个数两两配对。

对于任意一个前缀和最小的位置 $i$，把 $1 \sim i$ 移位到末尾，得到的新序列都满足上面的约束。（不理解可以画折线图辅助理解）

如果觉得不够自然，可以先看看同场比赛的 C 题，思考方式有相似之处。

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Step 3

现在考虑怎么把掏出来的数合法地插回去。

首先，刚才的移位对我们掏出来的数还是有影响的，我们大可不必真的把它掏出来，在计算括号权值的时候把它当成 $0$ 就够了。

假如我们掏出来的数是 $n+1$，只要在括号序列中被括进了一对括号里，它就可以插进那对括号对应的下降序列中，答案 $k$ 就是刚才移位的 $i$。

这并没有考虑完所有的有解情况，但性质足够优秀，不妨就钦定我们掏出来的数是 $n+1$。

对于剩下的情况，$n+1$ 刚好不被任何一对括号括起来，意味着 $n+1$ 不可能在下降序列的中间了，所以考虑 $n+1$ 在两头的情况。

在刚才的移位后 $n+1$ 可能还在序列的中间，看看能不能把它挪到两头来。

发现 $n+1$ 两侧一定都是合法括号序列，直接挪到一起，$n+1$ 就到了两头，正合我意。

当 $n+1$ 在最右边时，如果序列中的 $[1,n]$ 不是单调上升的，即对于靠左的数 $i$，靠右的数 $j$，存在 $1 \leq j < i \leq n$，我们可以把 $j$ 接到 $i$ 那个下降序列的后面，这样原来和 $i$ 匹配的大于 $n+1$ 的数就空了出来。

那我们就可以把 $n+1$ 接上去啦。

相应的，当 $n+1$ 在最左边时，如果序列中的 $[n+2,2n+1]$ 不是单调上升的，我们也可以空出一个小于 $n+1$ 的数，来和 $n+1$ 接到一起。

$n+1$ 在最左边的答案就是 $i$ 加上左边挪动的那段合法括号序列长度，
在最右边就再加上 $1$。

如果两种接法都不可行，意味着至少有 $n+1$ 个下降序列才能覆盖原序列的某个循环移位，报告无解。

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Step 4

对于单个排列，我们已经能够在 $\mathcal{O}(n)$ 的时间复杂度内应答，再考虑交换操作。

刚才的问题中，我们需要解决的子问题有：$\pm 1$ 序列前缀和的 $\text{min}$，区间中 $[1,n]$,$[n+2,2n+1]$ 的数的单调性，均可用线段树维护带修答案。

总时间复杂度为 $\mathcal{O}(m \log n)$。