LCA&DSU&MST
\(\text {LCA}\) & \(\text {DSU}\) & \(\text {MST}\)
$ \text {LCA} $
前置知识
起码会个倍增树剖吧。
时间复杂度
单次查询 \(\mathcal{O}(1) \sim \mathcal{O}(\log n)\)，取决于实现方式。
树上差分
常用于解决于树上路径相关的计数问题，用哪条就看要不要拿 $ \text {LCA} $ 。
更具体地说：如果是维护点权，路径上计数要计 \(\text {LCA}\) 的点权，所以第二次要减他爹；
如果维护边权，我们每个点代表的其实是它连向父亲的这条边（可以以 dep 数组为例思考一下），所以不需要计 \(\text {LCA}\)，可以直接减两次 \(\text {LCA}\)。
如果维护的运算不能套用上面的式子，如 \(\min , \max\) 等，那就只能老老实实用 \(\large sum_{u,lca}+sum_{v,lca}\)，用倍增 / 树剖维护，求 \(\text {LCA}\) 的时候顺手求，总之都是 \(\log\) 的。
最小瓶颈路
配合 \(\text {Kruskal}\) 重构树解决最小瓶颈路类型问题。
常见问题格式为第 \(i\) 次操作使两部分连通等。
具体见 $ \text{Kruskal} $ 重构树部分。
树上路径相交
对于 $ \large x=lca(a,b),y=lca(c,d) $ ，有：\(x\) 在路径 \(c \to d\) 上或 \(y\) 在路径 \(a \to b\) 上。
对于 $ \large dis(x,a)+dis(x,b)=dis(a,b) $ ，有：\(x\) 在路径 \(a \to b\) 上。
无根树 $ \text {LCA} $
对于一棵无根树，如有 \(c\) 在路径 $ a \to b $ 上，则对于 \(c\) 为根时所有不包含 \(a,b\) 的子树的所有点，它们作为树根时都有 \(c=\text {LCA}(a,b)\)。
小结
总之，遇到的树上路径问题，第一时间想到的就应该是 \(\text{LCA}\)，不带修一般倍增，带修就上树剖。
树剖可耻但有用。—— \(\text {crq}\)
完整来说，应该是：
不带修倍增，带修树剖，带增删就拿 \(\text {LCT}\) 日。—— \(\text {crq}\)
但 \(\text {LCT}\) 超出了我们的讨论范畴。
顺便提一嘴，树剖 + 线段树能维护的信息都能用树剖 + \(\text {BST}\) （即全局平衡二叉树）维护，复杂度会从 \(\mathcal{O}(n \log^2 n)\) 优化至 \(\mathcal{O}(n \log n)\)，缺点是如果还需要维护子树信息会比较难码（但复杂度依然正确）。
$ \text {DSU} $
前置知识
路径压缩，按秩合并，启发式合并。
（线段树）
（二分答案）
时间复杂度
仅路径压缩，平均时间复杂度 \(\mathcal{O}(m \alpha(m,n))\)，最坏时间复杂度 \(\mathcal{O}(m \log n)\) 。
仅按秩合并 / 启发式合并，平均与最坏时间复杂度均为 \(\mathcal{O}(m \log n)\)。
路径压缩 + 按秩合并 / 启发式合并，平均与最坏时间复杂度均为 \(\mathcal{O}(m \alpha(m,n))\)。
按秩合并 / 启发式合并的并查集树高最坏与 \(\log n\) 同级。
启发式合并时每次合并总是遍历较小的并查集，遍历最坏总时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。
求无向图生成森林的 \(\text{Boruvka}\) 算法与其思路类似，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))\)；常用于边权由点权决定的情况，便于将时间复杂度优化至 \(\mathcal{O}(n \log n \cdot \alpha(m,n))\)，具体见 \(\text {MST}\) 部分。
带权并查集
让并查集的边带上权值。
如果进行路径压缩，则要求维护的权值对应的运算满足结合律。
通常维护的运算有普通的加法乘法，带模加法，\(\max , \min\) 等。
带模加法是表示环形二元关系的常见方式，这种问题也常用扩展域的方式解决。
模数为 \(2\) 的带模加法常用异或表示。
带权并查集往往规定了合并方向，不能够按秩合并 / 启发式合并。
扩展域
如果每一个元素与其它元素至多有 \(x\) 种关系，可以用 \(x+1\) 组并查集来维护关系。
本质上就是二维并查集。
空间复杂度为 \(\mathcal{O}(nx)\)，时间复杂度取决于加边方式。
虽然复杂度劣于带权并查集，但是能更方便应付多元素关系。
与带权并查集一样，如果进行路径压缩，则要求维护的权值对应的运算满足结合律。
连通时间戳
题目形式是求目标在第 \(i\) 次加边时连通，目标可能是两点，也可能是一个标号连续区间内的所有点。
具体题意如下：
初始时有 \(n\) 个孤立点。
接下来有 \(m\) 次加边操作，第 \(i\) 次操作在 \(a_i\) 和 \(b_i\) 间加一条无向边。
接下来有 \(q\) 次询问，第 \(i\) 次询问 \(u_i\) 和 \(v_i\) 最早在第几次加边后连通。
可以考虑以时间戳为边权建 \(\text {MST}\)：
在第 \(i\) 次加边时，如果 \(a_i\) 与 \(b_i\) 不连通，在 \(\text {MST}\) 中给 \(a_i\) 和 \(b_i\) 连一条边。
答案是 \(u_i\) 与 \(v_{i}\) 两点在 \(\text {MST}\) 中路径上的边权最大值。
用倍增或树剖维护，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log n)\)。
是最小瓶颈路问题，可以用 \(\text {Kruskal}\) 重构树解决，复杂度相同。
也可以将询问离线，在并查集启发式合并时遍历较小的并查集处理询问，复杂度相同。
询问从两点变成标号连续区间的话，可以考虑用线段树维护标号连续点之间最早连通时间戳，每个点只会被打上一个询问，用类似刚才的离线算法的方法就能解决，并且现在它变成了在线算法。
CF1706E Qpwoeirut and Vertices
断边时间戳
对于两点在第 \(i\) 次断边切断之类的问题，先把不会切断的边连好，然后再倒着把要断的边连上，改断边为加边。
小结
并查集薄纱连通性问题，不能薄纱就试试离线。
因为其复杂度优秀，对于部分正解较难想的问题，可以考虑试图将其转化为连通性问题，如：
评分是两千，但其实可以二分答案 + \(\text {DSU}\) 日过去。
愚蠢的日本人。
至于较大时并查集可以配合离散化食用。
有时候我们会遇到并查集维护的值域在改变的情况，可以考虑记录两个数组表示值域与祖先的相互映射，可以在 \(\mathcal{O}(\alpha(m,n))\) 的时间复杂度内实现值域平移，如：
提高应该不考，别写。
\(\text{MST}\)
前置知识
\(\text {Kruskal , Boruvka , LCA , DSU 。}\)
（裸树形 \(\text {dp}\)）
（\(\text {01Trie}\)）
时间复杂度
\(\text {Kruskal}\) 算法复杂度瓶颈在排序算法上，复杂度为 \(\mathcal{O}(m \log m) \sim \mathcal{O}(m {\alpha(m,n)})\)，是 \(\text{MST}\) 的最常用求法。
\(\text {Prim}\) 暴力时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^2+m)\)，二叉堆优化复杂度是 \(\mathcal{O}(n+m) \log n\)，\(\text {Fibonacci}\) 堆优化复杂度是 \(\mathcal{O}(n \log n + m)\)。
信我，别写 \(\text{Prim}\)。
\(\text{Boruvka}\) 算法时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))\)，要求图中各边的边权各不相等（可以用标号作为第二关键字比较来跑有相等边权的图）。
最小树形图
其实就是有向图 \(\text {MST}\)。
可以用朱刘算法 \(\mathcal{O}(nm)\) 解决，也能用 \(\text {tarjan}\) 优化到 \(\mathcal{O}(m + n \log n)\)，目测都不考。
唯一 \(\text {MST}\)
跑 \(\text {Kruskal}\) 时设当前相同权值的可以添加进 \(\text {MST}\) 的边有 \(a\) 条，实际添加进 \(\text {MST}\) 的边有 \(b\) 条，当 \(a > b\) 时，该图 \(\text {MST}\) 不唯一。
次小生成树
对于每条不在 \(\text {MST}\) 上的边 \(e=(u,v,w)\)，求出 \(u,v\) 路径上权值最大边 \(e'\)，用 \(e\) 替换。
权值和最小的新生成树即为非严格次小生成树，可以用倍增解决。
在倍增时顺手维护 \(u,v\) 路径上的严格次大边权，当 \(e=e'\) 时用它作为 \(e’\) 来被 \(e\) 替换即可求出严格次小生成树。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m \log m)\)。
极差最小生成树
用第 \(1 \leq i \leq m-n+1\) 条边作为最小权值边（可以看作把前 \(i-1\) 小的边删去）求 \(\text {MST}\)，其中最大权值边与最小权值边的权值差最小的一棵 \(\text {MST}\) 就是这张图的极差最小生成树。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m^2 \log m) \sim \mathcal{O}(m^2 \alpha(m,n))\)。
本题存在 \(\text {LCT}\) 解法，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m \log m)\)，超纲。
瓶颈生成树
\(\text{MST}\) 一定是瓶颈生成树，\(\text {MST}\) 上 \(u,v\) 两点间的路径是 \(u,v\) 两点间的一条最小瓶颈路 。
这两条性质都是充分不必要的。
P1547 [USACO05MAR]Out of Hay S
Tips：这题原题面是求瓶颈生成树的最大权值边，但是搬到洛谷上的时候直接用最小生成树代替了，变成了裸题。
最小度限制生成树
对于一张图求规定一个节点度为 \(K\) （或者 \(\geq K\)）的 \(\text {MST}\)。
先对度限制节点以外的图建 \(\text {MST}\)，再考虑连通分量到限制节点连权值最小边。
连不了就是无法构成生成树，连通分量超过 \(K\) 就是无法在度数限制下构成生成树。
否则我们就求出了关于度限制节点的最小度生成树。
设当前限制节点度数为 \(X\)，再以限制节点为根做 \(K-X\) 次树形 \(\text {dp}\)：每次遍历根节点不在 \(\text {MST}\) 上的边，求另一头的节点在当前 \(\text {MST}\) 内到根路径上的最大权值边，记为 \(f_i\)。
然后用与根相邻的边替换 \(f_i\)，替换时贪心让 \(\text {MST}\) 总权值最小就好。
如果做不完 \(K-X\) 次树形 \(\text {dp}\) 就无边可换了，说明无法在度数限制下构成生成树。
否则我们就求出了关于度限制节点的最小度限制生成树。
时间复杂度是 \(\mathcal{O}(m \log m + Kn)\) 的。
有复杂度与 \(\text {Kruskal}\) 算法同级的解法，目测不考。
\(\text {Boruvka}\)
\(\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))\) 的复杂度在 \(\text {MST}\) 算法中平平无奇，但不妨看看这个复杂度是怎么来的。
\(\text {Boruvka}\) 算法在每一轮扫描中遍历 \(m\) 条边，确定图中每个连通块向外伸出的边权最小边，每次扫描连通块起码减半，所以至多扫描 \(\log n\) 轮。
如果我们在每轮贪最小边的复杂度能降低，整个算法的复杂度也就能降低。
所以 \(\text {Boruvka}\) 算法经常用于边权可以由点权推出的情况，设法利用性质将每轮贪心复杂度从 \(\mathcal{O}(m \alpha(m,n))\) 降至 \(\mathcal{O}(n)\)。
其实写出完整的 \(\text {Boruvka}\) 算法的情况很少，更多是利用它的思想。
\(\text {Kruskal}\) 重构树
对于 \(n\) 点 \(m\) 边无向图，我们初始化 \(n\) 个孤立的节点，然后按照 \(\text {Kruskal}\) 算法将这些节点依次连通。
但连通方式并非直接加边，而是新建一个节点，将原来两个节点向新节点连边。
最后构成一棵点数为 \(2n-1\) 的树，即 \(\text {Kruskal}\) 重构树。
在合并时，我们可以让新建的节点带上点权。
如让新建节点以它代表的原图的边的边权作为点权，则有：
让连通时间戳作为点权即可在线支持连通时间戳问题。
CF1706E Qpwoeirut and Vertices
小结
看着一堆板子，其实都是贪心。
图论就是贪贪贪。——\(\text {crq}\)
提高考 \(\text {MST}\) 不是 \(\text {T4}\) 基本都是板子吧吧吧......
再有就是经典套路，拆点加点加边分层图，等讲最短路和网络瘤讲吧。
所以考 \(\text {MST}\) 概率不大？
其实次小生成树在提高大纲里。
\(\text {Kruskal}\) 重构树在线薄纱与权值，时间戳相关连通问题。
没了吧吧吧......
