LCA&DSU&MST

$\text {LCA}$ & $\text {DSU}$ & $\text {MST}$

目录

• $\text {LCA}$ & $\text {DSU}$ & $\text {MST}$
  • • $\text {LCA}$
      • 前置知识
      • 时间复杂度
      • 树上差分
      • 最小瓶颈路
      • 树上路径相交
      • 无根树 $\text {LCA}$
      • 小结
    • $\text {DSU}$
      • 前置知识
      • 时间复杂度
      • 带权并查集
      • 扩展域
      • 连通时间戳
      • 断边时间戳
      • 小结
    • $\text{MST}$
      • 前置知识
      • 时间复杂度
      • 最小树形图
      • 唯一 $\text {MST}$
      • 次小生成树
      • 极差最小生成树
      • 瓶颈生成树
      • 最小度限制生成树
      • $\text {Boruvka}$
      • $\text {Kruskal}$ 重构树
      • 小结
    • 文末 Link

$\text {LCA}$

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前置知识

起码会个倍增树剖吧。

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时间复杂度

单次查询 $\mathcal{O}(1) \sim \mathcal{O}(\log n)$，取决于实现方式。

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树上差分

$$\large dis_{u,v}=dep_u+dep_v-2 \cdot dep_{lca}$$

$$\large sum_{u,v}=sum_{rt,u}+sum_{rt,v}-sum_{rt,lca}-sum_{rt,fa(lca)}$$

常用于解决于树上路径相关的计数问题，用哪条就看要不要拿 $\text {LCA}$ 。

更具体地说：如果是维护点权，路径上计数要计 $\text {LCA}$ 的点权，所以第二次要减他爹；

如果维护边权，我们每个点代表的其实是它连向父亲的这条边（可以以 dep 数组为例思考一下），所以不需要计 $\text {LCA}$，可以直接减两次 $\text {LCA}$。

P4427 [BJOI2018]求和

如果维护的运算不能套用上面的式子，如 $\min , \max$ 等，那就只能老老实实用 $\large sum_{u,lca}+sum_{v,lca}$，用倍增 / 树剖维护，求 $\text {LCA}$ 的时候顺手求，总之都是 $\log$ 的。

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最小瓶颈路

配合 $\text {Kruskal}$ 重构树解决最小瓶颈路类型问题。

常见问题格式为第 $i$ 次操作使两部分连通等。

具体见 $\text{Kruskal}$ 重构树部分。

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树上路径相交

对于 $\large x=lca(a,b),y=lca(c,d)$ ，有：$x$ 在路径 $c \to d$ 上或 $y$ 在路径 $a \to b$ 上。

对于 $\large dis(x,a)+dis(x,b)=dis(a,b)$ ，有：$x$ 在路径 $a \to b$ 上。

P3398 仓鼠找 sugar

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无根树 $\text {LCA}$

对于一棵无根树，如有 $c$ 在路径 $a \to b$ 上，则对于 $c$ 为根时所有不包含 $a,b$ 的子树的所有点，它们作为树根时都有 $c=\text {LCA}(a,b)$。

P6374 「StOI-1」树上询问

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小结

总之，遇到的树上路径问题，第一时间想到的就应该是 $\text{LCA}$，不带修一般倍增，带修就上树剖。

树剖可耻但有用。—— $\text {crq}$

完整来说，应该是：

不带修倍增，带修树剖，带增删就拿 $\text {LCT}$ 日。—— $\text {crq}$

但 $\text {LCT}$ 超出了我们的讨论范畴。

顺便提一嘴，树剖 + 线段树能维护的信息都能用树剖 + $\text {BST}$ （即全局平衡二叉树）维护，复杂度会从 $\mathcal{O}(n \log^2 n)$ 优化至 $\mathcal{O}(n \log n)$，缺点是如果还需要维护子树信息会比较难码（但复杂度依然正确）。

全局平衡二叉树

一篇 2007 年的论文

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$\text {DSU}$

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前置知识

路径压缩，按秩合并，启发式合并。

（线段树）

（二分答案）

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时间复杂度

仅路径压缩，平均时间复杂度 $\mathcal{O}(m \alpha(m,n))$，最坏时间复杂度 $\mathcal{O}(m \log n)$ 。

仅按秩合并 / 启发式合并，平均与最坏时间复杂度均为 $\mathcal{O}(m \log n)$。

路径压缩 + 按秩合并 / 启发式合并，平均与最坏时间复杂度均为 $\mathcal{O}(m \alpha(m,n))$。

按秩合并 / 启发式合并的并查集树高最坏与 $\log n$ 同级。

启发式合并时每次合并总是遍历较小的并查集，遍历最坏总时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log n)$。

求无向图生成森林的 $\text{Boruvka}$ 算法与其思路类似，时间复杂度为 $\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))$；常用于边权由点权决定的情况，便于将时间复杂度优化至 $\mathcal{O}(n \log n \cdot \alpha(m,n))$，具体见 $\text {MST}$ 部分。

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带权并查集

让并查集的边带上权值。

如果进行路径压缩，则要求维护的权值对应的运算满足结合律。

通常维护的运算有普通的加法乘法，带模加法，$\max , \min$ 等。

带模加法是表示环形二元关系的常见方式，这种问题也常用扩展域的方式解决。

模数为 $2$ 的带模加法常用异或表示。

带权并查集往往规定了合并方向，不能够按秩合并 / 启发式合并。

P1196 [NOI2002] 银河英雄传说

P2024 [NOI2001] 食物链

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扩展域

如果每一个元素与其它元素至多有 $x$ 种关系，可以用 $x+1$ 组并查集来维护关系。

本质上就是二维并查集。

空间复杂度为 $\mathcal{O}(nx)$，时间复杂度取决于加边方式。

虽然复杂度劣于带权并查集，但是能更方便应付多元素关系。

与带权并查集一样，如果进行路径压缩，则要求维护的权值对应的运算满足结合律。

P2024 [NOI2001] 食物链

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连通时间戳

题目形式是求目标在第 $i$ 次加边时连通，目标可能是两点，也可能是一个标号连续区间内的所有点。

具体题意如下：

初始时有 $n$ 个孤立点。

接下来有 $m$ 次加边操作，第 $i$ 次操作在 $a_i$ 和 $b_i$ 间加一条无向边。

接下来有 $q$ 次询问，第 $i$ 次询问 $u_i$ 和 $v_i$ 最早在第几次加边后连通。

可以考虑以时间戳为边权建 $\text {MST}$：

在第 $i$ 次加边时，如果 $a_i$ 与 $b_i$ 不连通，在 $\text {MST}$ 中给 $a_i$ 和 $b_i$ 连一条边。

答案是 $u_i$ 与 $v_{i}$ 两点在 $\text {MST}$ 中路径上的边权最大值。

用倍增或树剖维护，时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \log n)$。

是最小瓶颈路问题，可以用 $\text {Kruskal}$ 重构树解决，复杂度相同。

也可以将询问离线，在并查集启发式合并时遍历较小的并查集处理询问，复杂度相同。

P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

询问从两点变成标号连续区间的话，可以考虑用线段树维护标号连续点之间最早连通时间戳，每个点只会被打上一个询问，用类似刚才的离线算法的方法就能解决，并且现在它变成了在线算法。

CF1706E Qpwoeirut and Vertices

题解

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断边时间戳

对于两点在第 $i$ 次断边切断之类的问题，先把不会切断的边连好，然后再倒着把要断的边连上，改断边为加边。

P1197 [JSOI2008] 星球大战

ABC264E Blackout 2

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小结

并查集薄纱连通性问题，不能薄纱就试试离线。

因为其复杂度优秀，对于部分正解较难想的问题，可以考虑试图将其转化为连通性问题，如：

ABC181F Silver Woods

评分是两千，但其实可以二分答案 + $\text {DSU}$ 日过去。

愚蠢的日本人。

至于较大时并查集可以配合离散化食用。

有时候我们会遇到并查集维护的值域在改变的情况，可以考虑记录两个数组表示值域与祖先的相互映射，可以在 $\mathcal{O}(\alpha(m,n))$ 的时间复杂度内实现值域平移，如：

P4117 [Ynoi2018] 五彩斑斓的世界

提高应该不考，别写。

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$\text{MST}$

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前置知识

$\text {Kruskal , Boruvka , LCA , DSU 。}$

（裸树形 $\text {dp}$）

（$\text {01Trie}$）

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时间复杂度

$\text {Kruskal}$ 算法复杂度瓶颈在排序算法上，复杂度为 $\mathcal{O}(m \log m) \sim \mathcal{O}(m {\alpha(m,n)})$，是 $\text{MST}$ 的最常用求法。

$\text {Prim}$ 暴力时间复杂度为 $\mathcal{O}(n^2+m)$，二叉堆优化复杂度是 $\mathcal{O}(n+m) \log n$，$\text {Fibonacci}$ 堆优化复杂度是 $\mathcal{O}(n \log n + m)$。

信我，别写 $\text{Prim}$。

$\text{Boruvka}$ 算法时间复杂度为 $\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))$，要求图中各边的边权各不相等（可以用标号作为第二关键字比较来跑有相等边权的图）。

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最小树形图

其实就是有向图 $\text {MST}$。

可以用朱刘算法 $\mathcal{O}(nm)$ 解决，也能用 $\text {tarjan}$ 优化到 $\mathcal{O}(m + n \log n)$，目测都不考。

P4716 【模板】最小树形图

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唯一 $\text {MST}$

跑 $\text {Kruskal}$ 时设当前相同权值的可以添加进 $\text {MST}$ 的边有 $a$ 条，实际添加进 $\text {MST}$ 的边有 $b$ 条，当 $a > b$ 时，该图 $\text {MST}$ 不唯一。

POJ1679 The Unique MST

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次小生成树

对于每条不在 $\text {MST}$ 上的边 $e=(u,v,w)$，求出 $u,v$ 路径上权值最大边 $e'$，用 $e$ 替换。

权值和最小的新生成树即为非严格次小生成树，可以用倍增解决。

在倍增时顺手维护 $u,v$ 路径上的严格次大边权，当 $e=e'$ 时用它作为 $e’$ 来被 $e$ 替换即可求出严格次小生成树。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(m \log m)$。

P4180 [BJWC2010] 严格次小生成树

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极差最小生成树

用第 $1 \leq i \leq m-n+1$ 条边作为最小权值边（可以看作把前 $i-1$ 小的边删去）求 $\text {MST}$，其中最大权值边与最小权值边的权值差最小的一棵 $\text {MST}$ 就是这张图的极差最小生成树。

时间复杂度为 $\mathcal{O}(m^2 \log m) \sim \mathcal{O}(m^2 \alpha(m,n))$。

UVA1395 苗条的生成树 Slim Span

本题存在 $\text {LCT}$ 解法，时间复杂度为 $\mathcal{O}(m \log m)$，超纲。

P4234 最小差值生成树

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瓶颈生成树

$\text{MST}$ 一定是瓶颈生成树，$\text {MST}$ 上 $u,v$ 两点间的路径是 $u,v$ 两点间的一条最小瓶颈路 。

这两条性质都是充分不必要的。

P1547 [USACO05MAR]Out of Hay S

Tips：这题原题面是求瓶颈生成树的最大权值边，但是搬到洛谷上的时候直接用最小生成树代替了，变成了裸题。

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最小度限制生成树

对于一张图求规定一个节点度为 $K$ （或者 $\geq K$）的 $\text {MST}$。

先对度限制节点以外的图建 $\text {MST}$，再考虑连通分量到限制节点连权值最小边。

连不了就是无法构成生成树，连通分量超过 $K$ 就是无法在度数限制下构成生成树。

否则我们就求出了关于度限制节点的最小度生成树。

设当前限制节点度数为 $X$，再以限制节点为根做 $K-X$ 次树形 $\text {dp}$：每次遍历根节点不在 $\text {MST}$ 上的边，求另一头的节点在当前 $\text {MST}$ 内到根路径上的最大权值边，记为 $f_i$。

然后用与根相邻的边替换 $f_i$，替换时贪心让 $\text {MST}$ 总权值最小就好。

如果做不完 $K-X$ 次树形 $\text {dp}$ 就无边可换了，说明无法在度数限制下构成生成树。

否则我们就求出了关于度限制节点的最小度限制生成树。

时间复杂度是 $\mathcal{O}(m \log m + Kn)$ 的。

UVA1537 Picnic Planning

有复杂度与 $\text {Kruskal}$ 算法同级的解法，目测不考。

P5633 最小度限制生成树

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$\text {Boruvka}$

$\mathcal{O}(m \log n \cdot \alpha(m,n))$ 的复杂度在 $\text {MST}$ 算法中平平无奇，但不妨看看这个复杂度是怎么来的。

$\text {Boruvka}$ 算法在每一轮扫描中遍历 $m$ 条边，确定图中每个连通块向外伸出的边权最小边，每次扫描连通块起码减半，所以至多扫描 $\log n$ 轮。

如果我们在每轮贪最小边的复杂度能降低，整个算法的复杂度也就能降低。

所以 $\text {Boruvka}$ 算法经常用于边权可以由点权推出的情况，设法利用性质将每轮贪心复杂度从 $\mathcal{O}(m \alpha(m,n))$ 降至 $\mathcal{O}(n)$。

其实写出完整的 $\text {Boruvka}$ 算法的情况很少，更多是利用它的思想。

CF888G Xor-MST

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$\text {Kruskal}$ 重构树

对于 $n$ 点 $m$ 边无向图，我们初始化 $n$ 个孤立的节点，然后按照 $\text {Kruskal}$ 算法将这些节点依次连通。

但连通方式并非直接加边，而是新建一个节点，将原来两个节点向新节点连边。

最后构成一棵点数为 $2n-1$ 的树，即 $\text {Kruskal}$ 重构树。

在合并时，我们可以让新建的节点带上点权。

如让新建节点以它代表的原图的边的边权作为点权，则有：

$$\large \text {原图两点最小瓶颈路上最大边权} = \text {MST 上两点路径上最大边权} = \text{Kruskal 重构树上两点 LCA 点权}$$

让连通时间戳作为点权即可在线支持连通时间戳问题。

LOJ137 最小瓶颈路（加强版）

P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

CF1706E Qpwoeirut and Vertices

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小结

看着一堆板子，其实都是贪心。

图论就是贪贪贪。——$\text {crq}$

提高考 $\text {MST}$ 不是 $\text {T4}$ 基本都是板子吧吧吧......

再有就是经典套路，拆点加点加边分层图，等讲最短路和网络瘤讲吧。

所以考 $\text {MST}$ 概率不大？

其实次小生成树在提高大纲里。

$\text {Kruskal}$ 重构树在线薄纱与权值，时间戳相关连通问题。

没了吧吧吧......

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文末 Link

总题单

Code