CF388C Fox and Card Game 题解

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CF388C Fox and Card Game

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题意概述

有 \(n\) 堆牌，每堆牌中有 \(s_i\) 张牌，每张牌上有一个数字 \(c_i\) 。

\(( 1 \leq n \leq 100 , 1 \leq s_i \leq 100 , 1 \leq c_i \leq 1000 )\)

现有 A 先手，B 后手轮流从牌堆中抽牌。A 只能从牌堆顶抽起，B 只能从牌堆底抽起。

A B 两人均贪婪，即期望所抽牌上的数字之和最大，且均做完全理性决策，求两人各自所抽取的牌上的数字之和。

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思路

根据抽牌的规则，一堆牌一定能被通过以下的方式抽取结束：

本堆牌的前 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 张牌被 A 抽取，后 \(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\) 张牌被 B 抽取。

如果有一张牌剩余，则被开始抽取本堆牌时的先手方抽取。

因为两者均贪婪，所以可能有一者试图用自己一侧的一张牌去“换取”对方一侧的一张数字更大的牌。

我们举出例子：

有两堆牌，分别为 \(\{ 5,6,1,5\}\) 与 \(\{ 5,2,6,5\}\)。

此时 B 可能会试图放弃第一堆中的 \(1\) 以换取第二堆中的 \(2\) 。

但因为 A 同样贪婪，所以 A 绝不会让 B 得手。

因为 A 与 B 轮流抽牌，起初后手方可以一直跟先手方对称抽牌。

假如后手方不跟着先手方对称抽牌了，先手方就可以反过来跟着后手方对称抽牌，使得后手方总是没有机会换走先手方一侧的优势牌。

所以在 B 抽走第二堆的 \(6\) 时，A 就会立刻把 \(2\) 抽走，让 B 无法得逞。

那反过来，如果后手方一侧拿到了优势牌，只要它一直与先手方对称出牌，先手方也是永远换不走他的优势牌的。

综上，换牌有盈有亏，而贪婪的双方总是会保护自己不受亏损，所以换牌是不可能实现的。

但我们还没考虑每堆牌剩下的单张牌。

其实我们不难发现，当一堆牌的牌数为偶数时，交换先后手没有什么区别。

但是当一堆牌为奇数时，剩下的一张牌会被先手方抽取，并且使它在新的一个牌堆里变为后手方。

因为没有规定必须抽完一个牌堆才能开下一个牌堆，所以这时每个奇数牌数的牌堆，都可以把它的中间这张牌先抽出来，左 A 右 B，最后再来考虑怎么取这些中间牌。

因为每抽取一张中间牌，先后手就变一次，并且 A 和 B 都贪婪，所以 A 和 B 会在这些中间牌中轮流抽走最大的那张。

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Code

#include <queue>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MAXN=3e5+10;
int T,n,a[MAXN],ansa,ansb;
priority_queue<int> q;

inline int read()
{
	int x=0;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x;
}

int main()
{
	T=read();
	while (T--)
	{
		n=read();
		for (int i=1;i<=(n>>1);i++) ansa+=read();
		if (n&1) q.push(read());
		for (int i=1;i<=(n>>1);i++) ansb+=read();
	}
	while (!q.empty())
	{
		ansa+=q.top();
		q.pop();
		if (!q.empty())
		{
			ansb+=q.top();
			q.pop();
		}
	}
	printf("%d %d",ansa,ansb);
	return 0;
}