FHQ Treap

简介

FHQ Treap是一棵利用分裂和合并实现插入，删除，查询操作的平衡树。

先提一嘴：所有平衡树的基础操作都能通过合并与分裂实现，所以先实现这两个看似与平衡树无关的操作是必要的，它们的重要性就像其它平衡树的 rotate 。

分裂

我们需要将一棵 BST 分成两棵，一棵中的每个节点的权值小于等于数字 \(k\) ，另一棵中每个节点的权值都要比数字 \(k\) 大。

为了方便，我们不妨把节点权值小的那棵树叫做小树，另一棵叫做大树。

怎么实现呢？

我们想，当我们遇到一个节点时，它的权值可能有两种情况：

小于等于 \(k\) 。
大于 \(k\) 。

如果我们遇到的节点小于等于 \(k\) ，根据 BST 性质，它的左子树中的所有节点，权值一定都小于等于 \(k\) 。

所以呢？

统统丢进我们的小树里就好啦~

那如果大于呢？

把它的右子树统统丢进我们的大树里就好啦~

然后呢？

递归一直丢，丢到叶子节点就好啦~

怎么丢？

~~我也不知道啦~~~

咳咳，我们可以先整理一下刚才的成果，无非就下面一句话：

小进小，递归右；大进大，递归左。

意思就是：

如果当前节点的权值是小过 \(k\) 的，进小树，然后递归右子树，反之同理。

那么：

如果当前节点权值小过 \(k\) ，我们的小树当前的左子树就是当前节点的左子树，差右子树没接，同时我们往右递归。

所以接下来，我们再要接小树时，应该接到当前节点的右儿子位置上。

同理，如果当前节点权值大过 \(k\) ，我们接下来如果要接大树时，就要接在当前节点的左儿子位置上？

知道这个有什么用呢？

我们可以粗略考虑像下面这样完成分裂。

（ now 表示当前节点， x 表示接小树该接的地方， y 表示接大树该接的地方， ls 指代左儿子， rs 指代右儿子， val[] 为记录每个节点权值的数组）

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
	if (val[now]<=k) x=now,split(rs[now],k,rs[now],y);
	else y=now,split(ls[now],k,x,ls[now]);
}

这里的 x=now , y=now ，就是前面所说的：

小进小；大进大。

后面的就是：

递归左；递归右。

不过我们为了完成接下来的操作，我们还要记录每个节点的子树，这需要我们在分裂合并时更新。

inline void update(int x) { siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1; }

我们还要为递归加上边界，所以最后的分裂代码是这样的：

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
	if (!now) x=y=0;
	else
	{
		if (val[now]<=k) x=now,split(rs[now],k,rs[now],y);
		else y=now,split(ls[now],k,x,ls[now]);
		update(now);
	}
}

合并

顾名思义，合并就是将两棵 BST 合并为一棵 BST 。特别的是，因为我们在 split 操作中严格规定了哪棵树中的节点更大，所以在合并时我们也可以利用这一点，传递变量时保护好这个性质，这样我们合并时就只用比较 rd 值的大小了。

rd 是什么？

因为 FHQ Treap 是一棵 Treap ，所以它维持平衡的原理是让每个节点带上一个随机值，在维护权值 BST 性质的同时维护随机值的堆性质，形成一棵笛卡尔树，因为堆键值是随机的，所以期望高度为 \(\log n\) 。

像是下面这样：

void merge(int x,int y)
{
	if (rd[x]<rd[y]) rs[x]=merge(rs[x],y);
	else ls[y]=merge(x,ls[y]);
}

上面这段代码已经能够概括合并的思路了，但是有细节上的问题：

我们在合并时改变了 BST 的结构，所以需要重新维护 siz 的大小。
这样的合并是成功了，但是我们也丢失了新树的根，会为下一次的分裂操作带来麻烦。
我们没有设置递归边界。

所以我们对其进行修改：

int merge(int x,int y)
{
	if (!x||!y) return x+y;
	if (rd[x]<rd[y])
	{
		rs[x]=merge(rs[x],y);
		update(x);
		return x;
	}
	else
	{
		ls[y]=merge(x,ls[y]);
		update(y);
		return y;
	}
}

其中的 if (!x||!y) return x+y; 表示若二者之一为 \(0\) ，返回另一者，即递归边界。

第 \(k\) 大数

这个操作其实与后面的 num() 目的相同，即求 BST 中第 \(k\) 大的数，但因为可以用于求前驱后继，所以先单独拎出来写。

kth() 的原理非常简单，这得益于我们之前费力维护的 siz 数组，它将在这个环节大显身手。

如果当前节点的 siz 大过 \(k\) ，向左子树递归；

如果当前节点的 siz 等于 \(k-1\) ，那答案就是当前节点；

否则当前节点的 siz 一定小于 \(k-1\) ，将 \(k\) 减去左子树的 siz ，再减去 \(1\) （即当前节点），向右子树递归。

代码如下：

inline int kth(int now,int k)
{
	while (1)
		if (k<=siz[ls[now]]) now=ls[now];
		else if (k==siz[ls[now]]+1) return now;
		else k-=siz[ls[now]]+1,now=rs[now];
}

插入

终于进入到平衡树所需要完成的操作了，接下来的方便一定会让你感到之前的努力没有白费。

因为我们已经能够将一棵 BST 分裂，所以插入一个点时，直接新建这个点，让原来的树沿着这个点的权值裂开，再将左右子树与这个点合并即可。

我们不妨顺手写一个新建节点的函数，这是我们最后的准备了：

inline int create(int x)
{
	siz[++tot]=1;
	val[tot]=x;
	rd[tot]=rand();
	return tot;
}

那么插入操作的代码如下：

inline void ins(int k)
{
	split(root,k,x,y);
	root=merge(merge(x,create(k)),y);
}

删除

有了分裂操作，删除也是易如反掌。

我们直接将需要删除的节点的两边裂开，把中间的节点 ”取走“ ，再把裂出来的两棵树合并回来就好。

代码如下：

inline void del(int k)
{
	split(root,k,x,z);
	split(x,k-1,x,y);
	y=merge(ls[y],rs[y]);
	root=merge(merge(x,y),z);
}

查询排名

因为我们处理了 siz 数组，所以一个数的排名就等于比它小的节点构成的树的大小，我们同样可以用 split() 完成这项工作。

代码如下：

inline void rank(int k)
{
	split(root,k-1,x,y);
	printf("%d\n",siz[x]+1);
	root=merge(x,y);
}

查询第 \(k\) 大数

这不就是我们刚才写的 kth() 嘛，摆上摆上。

代码如下：

inline void num(int k) { printf("%d\n",val[kth(root,k)]); }

前驱

求前驱，相当于求比这个节点权值小的节点构成的树（小树）中的权值最大节点，说起来有点绕，上码。

代码如下：

inline void last(int k)
{
	split(root,k-1,x,y);
	printf("%d\n",val[kth(x,siz[x])]);
	root=merge(x,y);
}

后继

与求前驱类似，求后继就是求比这个节点权值大的节点构成的树（大树）中的权值最小节点。

代码如下：

inline void next(int k)
{
	split(root,k,x,y);
	printf("%d\n",val[kth(y,1)]);
	root=merge(x,y);
}

Code

P3369 【模板】普通平衡树

#include <stdlib.h>
#include <cstdio>
#include <ctime>
using namespace std;
#define MAXN (int)(1e5+233)

int n,opt,in;
int tot,root,x,y,z;
int ls[MAXN],rs[MAXN],val[MAXN],rd[MAXN],siz[MAXN];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*x;
}

inline void update(int x) { siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1; }

inline int create(int x)
{
	siz[++tot]=1;
	val[tot]=x;
	rd[tot]=rand();
	return tot;
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
	if (!now) x=y=0;
	else
	{
		if (val[now]<=k) x=now,split(rs[now],k,rs[now],y);
		else y=now,split(ls[now],k,x,ls[now]);
		update(now);
	}
}

int merge(int x,int y)
{
	if (!x||!y) return x+y;
	if (rd[x]<rd[y])
	{
		rs[x]=merge(rs[x],y);
		update(x);
		return x;
	}
	else
	{
		ls[y]=merge(x,ls[y]);
		update(y);
		return y;
	}
}

inline int kth(int now,int k)
{
	while (1)
		if (k<=siz[ls[now]]) now=ls[now];
		else if (k==siz[ls[now]]+1) return now;
		else k-=siz[ls[now]]+1,now=rs[now];
}

inline void ins(int k)
{
	split(root,k,x,y);
	root=merge(merge(x,create(k)),y);
}

inline void del(int k)
{
	split(root,k,x,z);
	split(x,k-1,x,y);
	y=merge(ls[y],rs[y]);
	root=merge(merge(x,y),z);
}

inline void rank(int k)
{
	split(root,k-1,x,y);
	printf("%d\n",siz[x]+1);
	root=merge(x,y);
}

inline void num(int k) { printf("%d\n",val[kth(root,k)]); }

inline void last(int k)
{
	split(root,k-1,x,y);
	printf("%d\n",val[kth(x,siz[x])]);
	root=merge(x,y);
}

inline void next(int k)
{
	split(root,k,x,y);
	printf("%d\n",val[kth(y,1)]);
	root=merge(x,y);
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		opt=read(),in=read();
		if (opt==1) ins(in);
		else if (opt==2) del(in);
		else if (opt==3) rank(in);
		else if (opt==4) num(in);
		else if (opt==5) last(in);
		else next(in);
	}
	return 0;
}

区间翻转

平衡树还能实现一种操作，就是维护一个有序序列，支持对一个区间内的元素进行区间翻转。

因为我们维护的是节点的顺序，而不是节点的大小排序，所以我们在分裂时并不用考虑节点的权值大小，而是考虑节点的排名。

相对应，原来的分裂方式我们称为权值分裂，而现在的分裂方式我们称为排名分裂。

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
	if (!now) { x=y=0; return; }
	if (tag[now]) pushdown(now);
	if (siz[ls[now]]<k) x=now,split(rs[now],k-siz[ls[now]]-1,rs[now],y);
	else y=now,split(ls[now],k,x,ls[now]);
	update(now);
}

如上，我们在分裂时比较的关键字由节点权值变为节点排名。因为要支持翻转，所以我们要同时维护一个 lazy_tag 。

那么翻转操作也就很简单了。无非就是把要改的那棵子树拉出来，根打上 tag ，再塞回去。~~（好恶心口区）~~

inline void reverse(int l,int r)
{
	split(root,l-1,x,y);
	split(y,r-l+1,y,z);
	tag[y]^=1;
	root=merge(x,merge(y,z));
}

模板：P3391 【模板】文艺平衡树

#include <stdlib.h>
#include <cstdio>
#include <ctime>
using namespace std;
#define MAXN (int)(1e5+233)

int n,m,l,r;
int tot,root,x,y,z;
int ls[MAXN],rs[MAXN],val[MAXN],rd[MAXN],siz[MAXN];
bool tag[MAXN];

inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*x;
}

inline void swap(int &x,int &y) { int t=x;x=y,y=t; }

inline void update(int x) { siz[x]=siz[ls[x]]+siz[rs[x]]+1; }

void pushdown(int x)
{
    swap(ls[x],rs[x]);
    if (ls[x]) tag[ls[x]]^=1;
    if (rs[x]) tag[rs[x]]^=1;
    tag[x]=0;
}

inline int create(int x)
{
	siz[++tot]=1;
	val[tot]=x;
	rd[tot]=rand();
	return tot;
}

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
	if (!now) { x=y=0; return; }
	if (tag[now]) pushdown(now);
	if (siz[ls[now]]<k) x=now,split(rs[now],k-siz[ls[now]]-1,rs[now],y);
	else y=now,split(ls[now],k,x,ls[now]);
	update(now);
}

int merge(int x,int y)
{
	if (!x||!y) return x+y;
	if (rd[x]<rd[y])
	{
		if (tag[x]) pushdown(x);
		rs[x]=merge(rs[x],y);
		update(x);
		return x;
	}
	else
	{
		if (tag[y]) pushdown(y);
		ls[y]=merge(x,ls[y]);
		update(y);
		return y;
	}
}

inline void ins(int k)
{
	split(root,k,x,y);
	root=merge(merge(x,create(k)),y);
}

inline void reverse(int l,int r)
{
	split(root,l-1,x,y);
	split(y,r-l+1,y,z);
	tag[y]^=1;
	root=merge(x,merge(y,z));
}

void dfs(int now)
{
	if (!now) return;
	if (tag[now]) pushdown(now);
	dfs(ls[now]);
	printf("%d ",val[now]);
	dfs(rs[now]);
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) ins(i);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		l=read(),r=read();
		reverse(l,r);
	}
	dfs(root);
	return 0;
}

posted @ 2022-04-25 19:03 jzcrq 阅读(42) 评论(0) 编辑收藏举报

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分裂

合并

第 \(k\) 大数

插入

删除

查询排名

查询第 \(k\) 大数

前驱

后继

Code

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