解析数学模型（第五版）

摘要#

就记录了少部分题解，主要是太懒了（下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈）

文章中一律以 BD 代替 Brief Description（题目简述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）

初等模型#

一、双层玻璃窗的功效#

BD：单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进行对比，双层玻璃窗能减少多少热量损失？

SAT：简单的热传导模型，不考虑热对流和热辐射，在室内外温度恒定的假设下，用傅里叶热传导定律 $Q=k\frac{\varDelta T}{d}$，玻璃和空气厚度的比例 $h=\frac{l}{d}$，再对两者进行对比 $\frac{Q_1}{Q_2}$，最后列一张比例图

二、划艇比赛的成绩#

BD：探究划艇比赛成绩和桨手数量的关系

SAT：（物理老师见了要吐血的假设和模型） ，首先有两个假设：$\frac{l}{b}$ 和 $\frac{w_0}{n}$ 设为常数，因为它们的变化不大。那么 $\frac{l}{b}$ 不变可以得出艇的形状是一样的，推出 $s\propto A^{\frac{2}{3}}$【艇浸没面积 $s$ 和艇排水体积 $A$ 成正比；$\frac{w_0}{n}$ 不变得出 $w_0\propto n$【艇重 $w_0$ 和桨手数 $n$ 成正比】，又由于 $w'=w_0+nw$【总质量等于艇重加桨手数的总质量】，推出 $w'\propto n$【艇重 $w_0$ 和 桨手数量 $n$ 成正比】

SAT2：众所周知，空气阻力的公式 $F=\frac{1}{2}C\rho SV^2$【$C$ 为空气阻力系数，即常数；$\rho$ 是空气密度，一般情况也取常数；$S$ 为物体迎风面积；$V$ 为物体与空气的相对运动速度】，那么根据空气阻力的公式，可以类似的推导出艇的阻力公式 $f\propto sv^2$【$f$ 是艇与水的摩擦阻力；$s$ 是艇浸没面积；$v^2$ 是划艇速度的平方】

SAT3：假设所有桨手的体重相同，划艇的速度是匀速的，那么根据功率公式 $P=FV$，推导出 $np\propto fv$【$np$ 是所有桨手的总功率；$f$ 是艇与水的摩擦阻力；$v$ 是划艇速度】，而 $p\propto w$ 可以解释为：桨手的功率 $p$ 与肌肉体积、肺的提及成正比，对于身材均匀的运动员，肌肉、肺的体积与体重 $w$ 成正比

STA4：比赛时间 $t$ 与速度 $v$ 成反比，把上述所有公式进行整合可得到 $t\propto n^{-\frac{1}{9}}$，即划艇比赛成绩和桨手数量的关系模型

三、实物交换#

BD：甲只有一定量的物品 X，乙只有一定量的物品 Y，所以他们之间想进行交换，用作图的方法对双方交换实物建立一个模型

STA：无差别曲线用于描述甲或乙对物品X和Y的偏爱程度（但下图为甲的），甲有无数条无差别曲线（乙也一样），越靠近右上角，代表甲的满意程度越高。针对每一条无差别曲线，甲都是可以接受的，只是满意程度的不同罢了，每条曲线上面的点代表甲最终获得的物品X和Y的数量

STA2：而对于乙来说，假设他的无差别曲线的源点是 $O'$，相当于把甲的无差别曲线逆转180°，然后把他们合并在一起（如下图）。越靠近 $O'$点，甲越满足，乙越不满足，而越靠近 $O$点，情况正好相反，所以找到一条符合两者满足程度的曲线 $AB$【验证：假设交换在 $AB$ 以外的某一点 $p'$ 进行，若通过 $p'$ 的甲的无差别曲线与AB的交点为 $p$，甲对 $p$ 和 $p'$ 的满意度相同，而乙对 $p$ 的满意度高于 $p'$，所以双方满意的交换不可能在 $p'$ 进行】

STA3：等价交换原则，即双方在两种物品交换前后，拥有的价值都相同。假设交换前甲占有的物品 X 和乙占有的物品 Y 具有相同的价值，那么只要在 x 轴和 y 轴（原物品的数量）间连一条线（如下图），那么这条线上所以的点都满足等价交换原则

STA4：至于为何无差别曲线会向源点下凸，是因为物以稀为贵。当人们占有的 $x$ 较小时，他们宁愿以较多的 $\varDelta y$ 换较少的 $\varDelta x$

四、汽车刹车距离与道路通行能力#

BD：介绍交通流的主要参数及基本规律、汽车刹车距离模型、道路通行能力模型

PS：这一节内容的推导我觉得很简略，比赛时肯定要另查文献，所以我就干脆只放公式结论出来

STA：交通流的主要参数及基本规律。流量 $q$、速度 $v$、密度 $k$ 显然满足 $q=vk$。车速与密度之间的一个线性模型 $v=v_f\left( 1-k/k_j \right)$【$v_f$ 是密度 $k=0$ 时的车速；$k_j$ 是速度 $v=0$ 时的密度】，两个公式合并可以发现当 $k=k_j/2$ 时流量最大，同理，当 $v=v_j/2$ 时流量最大

STA2：汽车刹车距离模型。刹车距离与车速之间的模型 $d=c_1v+c_2v^2$【$c_1、c_2$ 皆为比例系数】

STA3：道路通行能力模型。道路通行能力模型 $N=\frac{1000}{c_1+c_2v+\frac{d_0}{v}}$【$d_0$ 是车身标准长度与两车间的安全距离之和】，而最大的道路通行能力模型 $$N_m=\frac{1000}{c_1+2\sqrt{c_2d_0}}$$

五、估计出租车的总数#

BD：已知出租车的牌号是按顺序发放的，随意记下10辆出租车牌号，根据这些数据估计出租车总数

STA：模型建立的方法有五种，分别是：平均值模型、中位数模型、两端间隔对称模型、平均间隔模型、区间均分模型，然后各模型的公式一看就懂了，挺简单的 （懒得写了） ，

STA2：相比较后发现各有各的好，但平均间隔模型是五个模型中最理想的模型

六、评选举重总冠军#

BD：如何从同一个项目（举重）的 8 个冠军中选取一个总冠军 ？

STA：先建立体重和举重成绩之间的数学模型，由此模型计算各个级别冠军的举重成绩理论值，再算出实际值和理论值的比值，并根据比值构建一个数量指标作为折合成绩，折合成绩最大的冠军即为总冠军

七、解读 $CPI$#

BD：如题

STA：$CPI$ 包含的概念有：环比价格指数、同比价格指数、累计价格指数、年价格增长指数

STA1：
环比价格指数：以上月为基调进行对比的价格指数

同比价格指数：以上年同月为基调进行对比的价格指数

累计价格指数：从1月起到发布月份为止累计的、以上年同一期间价格为基期进行对比的指数

年价格增长指数：每年12月的累计为1月至12月同比的平均值，以上年的平均值为基期进行对比的指数

差分方程与代数方程模型#

一、贷款买房#

BD：构建贷款购房模型

STA：概念一：单利和复利；概念二：整存整取和零存整取；概念三：等额本息贷款和等额本金贷款；概念四：其他

STA2：单利和复利。单利即死期存款，中间不取出，直到最后一年取出；复利也称利滚利，中间可以取出，每年产生的利息算在下二年的本金中

STA3：整存整取和零存整取。前者是往银行存一大笔钱，每年取出固定的资金；后者是每年往银行存入固定的钱，最后一年全部取出（下图分别是前者和后者）

STA4：等额本息贷款和等额本金贷款。两者都是先贷全款。但前者一开始每月要还的款比后者小，而随着月份的流逝，两者还款金额逐渐相同，接着，前者还的款比后者越来越大（如下图）

STA5：商业贷款和公积金属于不同的的贷款类别，区别在于年利率不同；按揭年数上至30年，下至1年