[ZJOI2010]基站选址

洛谷题面

线段树优化 $\verb!Dp!$。

题目大意

有 $n$ 个村庄坐落在一条直线上，第 $i(i\gt 1)$ 个村庄距离第 $1$ 个村庄的距离为 $dis[i]$。需要在这些村庄中建立不超过 $k$ 个通讯基站，在第 $i$ 个村庄建立基站的费用为 $cost[i]$。如果在距离第 $i$ 个村庄不超过 $range[i]$ 的范围内建立了一个通讯基站，那么就村庄被基站覆盖了。如果第 $i$ 个村庄没有被覆盖，则需要向他们补偿，费用为 $pay[i]$。

现在的问题是，选择基站的位置，使得总费用最小。

题目分析

令 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个村庄中，第 $j$ 个基站建在 $i$ 的最小费用（不考虑 $i\sim n$ 的赔偿费用）。

所以状态转移方程为 $dp[i][j]=\min\{dp[k][j-1]+\operatorname{cost}(k,i)\}$，$\operatorname{cost}(i,j)$ 表示第 $i$ 个村庄到第 $j$ 个村庄的赔偿之和。

可以滚动掉第二维。然后想想优化。

对于每个村庄，都需要在 $[st,ed]$ 的范围内建立基站，现在我们考虑 $ed$ 处是否建基站：

• 不建。那么我们就要赔偿了，因此我们快速的在 $dp[1\sim j-1]$ 上加村庄 $i$ 的赔偿费用了。

• 建。找费用最小值直接转移就好。

于是我们用 $\verb!DP![i]$ 数组保存 $dp[i][j-1]$，用线段树维护 $dp[i][j]$。

因为线段树需要先建树，所以需要先预处理出 $dp[i][1]$ 再进行状态转移。

---

注意代码中 $n,m$ 需要加一。

为什么呢？意思是我们增加一个哨兵 $n+1$，强行在它这里建基站。因为这样统计答案就可以到 $dp[n+1][m+1]$ 直接获取了。

代码

//2022/5/11
//2022/5/12
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define int long long
#define enter putchar(10)
#define debug(c,que) std::cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) std::cout << arr[i] << w;
#define speed_up() std::ios::sync_with_stdio(false),std::cin.tie(0),std::cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
#define stop return(0)
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	if(x < 0) x += mod;
	return x % mod;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;

const int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 5;
struct Graph {
	int v,nxt;
} gra[N];
int head[N],dis[N],cost[N],range[N],pay[N],st[N],ed[N],dp[N];
int n,m,idx;
inline void add(int u,int v) {
	gra[++ idx].v = v,gra[idx].nxt = head[u],head[u] = idx;
}
inline void init() {
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		st[i] = std::lower_bound(dis + 1,dis + n + 1,dis[i] - range[i]) - dis;
		ed[i] = std::upper_bound(dis + 1,dis + n + 1,dis[i] + range[i]) - dis - 1;
		add(ed[i],i);
	}
}
struct Segment_Tree {
	struct Node {
		int l,r;
		int tag,Min;
	} node[N << 2];
	#define lson (p << 1)
	#define rson (p << 1 | 1)
	inline void pushup(int p) {
		node[p].Min = std::min(node[lson].Min,node[rson].Min);
	}
	inline void build(int p,int l,int r) {
		node[p].l = l,node[p].r = r,node[p].tag = 0,node[p].Min = INF;
		if (l == r) {
			node[p].Min = dp[l];
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(lson,l,mid),build(rson,mid + 1,r);
		pushup(p);
	}
	inline void pushdown(int p) {
		if (node[p].tag) {
			node[lson].tag += node[p].tag,node[rson].tag += node[p].tag;
			node[lson].Min += node[p].tag,node[rson].Min += node[p].tag;
			node[p].tag = 0;
		}
	}
	inline void update(int x,int y,int p,int k) {
		pushdown(p);
		if (x <= node[p].l && node[p].r <= y) {
			node[p].tag += k,node[p].Min += k;
			return;
		}
		int mid = node[p].l + node[p].r >> 1;
		if (x <= mid) update(x,y,lson,k);
		if (y > mid) update(x,y,rson,k);
		pushup(p);
	}
	inline int query(int x,int y,int p) {
		pushdown(p);
		if (x <= node[p].l && node[p].r <= y) {
			return node[p].Min;
		}
		int mid = node[p].l + node[p].r >> 1,res = INF;
		if (x <= mid) res = std::min(res,query(x,y,lson));
		if (y > mid) res = std::min(res,query(x,y,rson));
		return res;
	}
	#undef lson
	#undef rson
} seg;
#undef int
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	#define int long long
	n = read(),m = read();
	for (register int i = 2;i <= n; ++ i) dis[i] = read();	
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) cost[i] = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) range[i] = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) pay[i] = read();
	n ++,m ++;
	dis[n] = pay[n] = INF;
	init();
	int ans = INF,sum = 0;
	//枚举总共只建 1 个基站的情况,看看在基站 i 放这个唯一的基站的最小代价
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		dp[i] = sum + cost[i];
		for (register int j = head[i];j;j = gra[j].nxt) {
			int v = gra[j].v;
			sum += pay[v];
		}
	}
    ans = std::min(ans,dp[n]);
	for (register int i = 2;i <= m; ++ i) {
		seg.build(1,1,n);
		for (register int j = 1;j <= n; ++ j) {
			if (j - 1 >= 1) dp[j] = seg.query(1,j - 1,1) + cost[j];
			for (register int k = head[j];k;k = gra[k].nxt) {
				int v = gra[k].v;
				if (st[v] - 1 >= 1) seg.update(1,st[v] - 1,1,pay[v]);
			}
		}
		ans = std::min(ans,dp[n]);
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}