《瞿葩的数字游戏》T1-数字王国的门神

洛谷题面

题目大意

给定 \(n,m\)，求 \(\lim\limits_{k\to+\infty}(\sum\limits_{i=0}^kF_i\times 10^{k-i})\) 的第 \(n\) 到第 \(m\) 位。\(F_i\) 为斐波那契数列的第 \(i\) 项。

题目分析

前置知识：

等比数列求和公式：

一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数（这个常数通常用 \(q\) 来表示），且数列中任何项
都不为 \(0\)，那么这个数列叫等比数列，其中常数 \(q\) 叫作公比。\(a_i\) 为该等比数列的第 \(i\) 项，\(a_n=q^n\)。

\(S_{n}=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a_1}{1-q}-\dfrac{1}{1-q}\cdot q_n\)

其中 \(q\neq1\)。

这道题中 \(a_i\) 就是 \(F_i\)。

---

在整个式子的前面加上个 “\(0.\)” 使得其变为一个小数：\(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{5}}[(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^i-(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2})^i]\times(\dfrac{1}{10})^i\)。

又等于

\[\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{5}}[(\dfrac{1+\sqrt{5}}{20})^i-(\dfrac{1-\sqrt{5}}{20})^i] \]

不看 \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)，变为 \(\sum\limits_{i=1}^{+\infty}(\dfrac{1+\sqrt{5}}{20})^i-\sum\limits_{i=1}^{+\infty}(\dfrac{1-\sqrt{5}}{20})^i\)。

稍微处理下

\[(\dfrac{1}{\frac{19-\sqrt{5}}{20}}-1)-(\dfrac{1}{\frac{19+\sqrt{5}}{20}}-1) \]

即

\[\dfrac{10\sqrt{5}}{89} \]

再代入 \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)，发现答案为 \(\dfrac{10}{89}\)。

代码

//2022/4/21
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define enter putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
#define stop return(0)
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	if(x < 0) x += mod;
	return x % mod;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

int l,r;
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	l = read(),r = read();
	int res = 10;
	for (register int i = 1;i <= r; ++ i) {
		if (i >= l) printf("%d",res * 10 / 89);
		res = res * 10 % 89;
	}

	return 0;
}