[FJOI2018]领导集团问题

洛谷题面

题目大意

求树上最长不上升子序列的长度。

题目分析

不妨先想想序列上的解决方法，再将序列上的方法移植到树上来。

序列上的最长不上升子序列问题：

我们有 \(\mathcal{O(n^2)}\) 的无脑动态规划做法，可以优化到 \(\mathcal{O(n\log n)}\)。每一次尽量选与答案序列的上一个数相近的数。比如说 5 4 1，如果又有一个 \(3\) 在后面，那么可以拿 \(3\) 替换 \(1\)：5 4 3，这样如果后面再出现一个 \(2\) 也可以加入答案序列中。

扩展到树上：

维护 \(f_i\)，表示以点 \(i\) 为根节点的子树内的最长不上升子序列，注意 \(f_i\) 是一个序列。因为子树相互独立，所以可以进行合并。

实现时，我们把每一个数的相对大小取反，然后插入一个数时找到大于等于这个数的数 \(x\)，将 \(x\) 删掉，插入当前数即可。最后答案即为 \(f_1\) 的长度。

代码

//2022/3/29
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#include <set>
#define enter putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	if(x < 0) x += mod;
	return x % mod;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;
struct Gragh {
	int v,nxt;
} gra[N << 1];
int a[N],head[N];	
multiset<int>st[N];
int n,idx;
inline void add(int u,int v) {
	gra[++ idx].v = v,gra[idx].nxt = head[u],head[u] = idx;
}
inline void merge(int x,int y) {
	if (st[x].size() < st[y].size()) swap(st[x],st[y]);
	for (multiset<int>::iterator it = st[y].begin();it != st[y].end(); ++ it) {
		st[x].insert(*it);
	}
}
inline void dfs(int now,int fath) {
	for (register int i = head[now];i;i = gra[i].nxt) {
		int v = gra[i].v;
		if (v != fath) {
			dfs(v,now);
			merge(now,v);
		}
	}
	multiset<int>::iterator it = st[now].lower_bound(a[now]);
	if (it != st[now].end()) st[now].erase(it);
	st[now].insert(a[now]);
}
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	n = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) a[i] = 1e9 - read();
	for (register int i = 2;i <= n; ++ i) {
		int x = read();
		add(i,x),add(x,i);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",st[1].size());
	
	return 0;
}