CF1132E Knapsack

洛谷题面

题目大意

你有一个容量为 $n$ 的背包，和 $8$ 种物品，体积分别为 $1\sim 8$ 的整数，分别有 $a_1,a_2,\cdots,a_8$ 个。

求背包中最多能利用的体积。

$0\le n\le 10^{18},0\le a_i\le 10^{16}$。

题目分析

注意到背包容量 $n$ 很大，但是物品数量很小且物品体积很小。所以可以考虑将一些物品分成一组考虑，这里可以取 $\operatorname{lcm}(1,2,\cdots,8)=840$。我们尽量多地分组，剩下的部分，每一种物品的数量小于 $840$（否则可以再分一组），总共不超过 $840\times 4$。

令 $dp_{i,j}$ 表示考虑前 $i$ 种物品，剩余总体积为 $j$ 时能拼出的最大组数。

状态转移方程为：$dp_{i,j}=\max\{dp_{i-1,j-i\times k}+\dfrac{a_{i-1}-k}{\frac{840}{i}}\}$。

代码

//2022/3/27
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define int long long
#define enter putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : (-x))
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	if (x < 0) x += mod;
	return x % mod;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N1 = 15,N2 = 855;
int a[N1],dp[N1][N1 * N2];
//dp[i][j]:前 i 种物品剩余的总价值为 j 的时候能拼成的最多组数
int n,ans;
#undef int
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	#define int long long
	n = read();
	for (register int i = 1;i <= 8; ++ i) a[i] = read();
	mst(dp,-0x3f);
	dp[1][0] = 0;
	for (register int i = 1;i <= 8; ++ i) {
		for (register int j = 0;j <= 840 * 8; ++ j) {
			if (dp[i][j] != INF) {
				for (register int k = 0;k <= min(840 / i,a[i]); ++ k) {
					dp[i + 1][j + k * i] = max(dp[i + 1][j + k * i],dp[i][j] + (a[i] - k) / (840 / i));
				}
			}
		}
	}
	int ans = 0;
	for (register int i = 0;i <= 840 * 8; ++ i) {
		if (i <= n) ans = max(ans,i + 840 * (min(dp[9][i],(n - i) / 840)));
	}
	printf("%lld\n",ans);
	
	return 0;
}