[HAOI2008]糖果传递

洛谷题面

和题解差不多，加了点证明。

题目大意

有 $n$ 个小朋友坐成一圈，每人有 $a_i$ 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 $1$。

题目分析

设 $ave$ 表示所有小朋友糖果数量的平均数，因为所有小朋友糖果总数不会变，所以最后每个人的糖果数都会变成平均数。设 $num_i$ 表示第 $i$ 个小朋友往左传的糖果数。

若 $num_i$ 为负数，表示向右传。

可知：

$$a_1+num_2-num_1=ave$$

$$a_2+num_3-num_2=ave$$

$$\cdots$$

$$a_n+num_1-num_n=ave$$

一般地：

$$a_i+num_{i+1}-num_i=ave(1\le i\lt n)$$

$$a_i+num_{1}-num_{i}=ave(i=n)$$

我们只保留 $num$：

$$num_{2}=ave+num_1-a_1$$

$$num_{3}=ave+num_2-a_2=ave+(ave+num_1-a_1)-a_2=2 \cdot ave+num_1-a_1-a_2$$

$$\cdots$$

$$num_1=ave+num_n-a_n=\dots=n\cdot ave+num_1-a_1-a_2-\dots-a_n$$

我们引入 $c$ 数组，定义：

$$c_i=(\sum\limits_{j=1}^na_j)-i\cdot ave$$

故有：

$$num_2=num_1-c_{1}$$

$$num_3=num_1-c_2$$

$$\cdots$$

$$num_n=num_1-c_n$$

一般地：

$$num_i=num_1-c_i$$

题目要求我们最小化 $|num_1|+|num_2|+\cdots+|num_n|$，亦即最小化 $|num_1-c_1|+|num_1-c_2|+\cdots+|num_1-c_n|$。

将 $c_i$ 看作数轴上的点，问题转换为找出一个点 $num_1$ 使得所有点到 $num_1$ 距离和最小。

结论：$num_1$ 为 $c_i$ 的中位数时距离和最小。

证明：数学归纳法。

秩：区间内任意取值均使得全局最优时，默认取左端点。

当有两个数时，显然 $num_1$ 取在两数之间的位置比较好，为了使模型一般化，我们的 $num_1$ 取为 $c_1$。此时 $num_1$ 为 $c$ 的中位数。

当有三个数时，假设排序后为 $c_1,c_2,c_3$，那么 $num_1$ 一定在 $c_1,c_3$ 之间，取哪里呢？发现放在之间的话，$|c_1-num_1|+|c_3-num_1|$ 不变，所以我们只需要最小化 $|c_2-num_1|$。易得 $num_1=c_2$ 时最小，此时 $num_1$ 为 $c$ 的中位数。

当有四个数时，抽象成两个数时的模型，根据我们的“秩”，$num_1$ 取 $c_2$。

以此类推。

$\rm Q.E.D.$

于是我们可以求出 $num_1,num_2,num_3,\cdots,num_n$，$|num_1|+|num_2|+\cdots+|num_n|$ 也就不难得到了。

代码

//2022/3/10
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define int long long
#define enter() putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	while (x < 0) x += mod;
	while (x >= mod) x -= mod;
	return x;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

const int ma = 1e6 + 5;
int a[ma],sum[ma],c[ma];
int n,ave;
#undef int
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    #define int long long
	n = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) a[i] = read(),ave += a[i];
	ave /= n;
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		c[i] = sum[i] - i * ave;
	}
	sort(c + 1,c + n + 1);
	int ans = 0,standard = c[n / 2];
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		ans += Abs(standard - c[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}