[HAOI2008]糖果传递

洛谷题面

和题解差不多，加了点证明。

题目大意

有 \(n\) 个小朋友坐成一圈，每人有 \(a_i\) 个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为 \(1\)。

题目分析

设 \(ave\) 表示所有小朋友糖果数量的平均数，因为所有小朋友糖果总数不会变，所以最后每个人的糖果数都会变成平均数。设 \(num_i\) 表示第 \(i\) 个小朋友往左传的糖果数。

若 \(num_i\) 为负数，表示向右传。

可知：

\[a_1+num_2-num_1=ave \]

\[a_2+num_3-num_2=ave \]

\[\cdots \]

\[a_n+num_1-num_n=ave \]

一般地：

\[a_i+num_{i+1}-num_i=ave(1\le i\lt n) \]

\[a_i+num_{1}-num_{i}=ave(i=n) \]

我们只保留 \(num\)：

\[num_{2}=ave+num_1-a_1 \]

\[num_{3}=ave+num_2-a_2=ave+(ave+num_1-a_1)-a_2=2 \cdot ave+num_1-a_1-a_2\]

\[\cdots \]

\[num_1=ave+num_n-a_n=\dots=n\cdot ave+num_1-a_1-a_2-\dots-a_n \]

我们引入 \(c\) 数组，定义：

\[c_i=(\sum\limits_{j=1}^na_j)-i\cdot ave \]

故有：

\[num_2=num_1-c_{1} \]

\[num_3=num_1-c_2 \]

\[\cdots \]

\[num_n=num_1-c_n \]

一般地：

\[num_i=num_1-c_i \]

题目要求我们最小化 \(|num_1|+|num_2|+\cdots+|num_n|\)，亦即最小化 \(|num_1-c_1|+|num_1-c_2|+\cdots+|num_1-c_n|\)。

将 \(c_i\) 看作数轴上的点，问题转换为找出一个点 \(num_1\) 使得所有点到 \(num_1\) 距离和最小。

结论：\(num_1\) 为 \(c_i\) 的中位数时距离和最小。

证明：数学归纳法。

秩：区间内任意取值均使得全局最优时，默认取左端点。

当有两个数时，显然 \(num_1\) 取在两数之间的位置比较好，为了使模型一般化，我们的 \(num_1\) 取为 \(c_1\)。此时 \(num_1\) 为 \(c\) 的中位数。

当有三个数时，假设排序后为 \(c_1,c_2,c_3\)，那么 \(num_1\) 一定在 \(c_1,c_3\) 之间，取哪里呢？发现放在之间的话，\(|c_1-num_1|+|c_3-num_1|\) 不变，所以我们只需要最小化 \(|c_2-num_1|\)。易得 \(num_1=c_2\) 时最小，此时 \(num_1\) 为 \(c\) 的中位数。

当有四个数时，抽象成两个数时的模型，根据我们的“秩”，\(num_1\) 取 \(c_2\)。

以此类推。

\(\rm Q.E.D.\)

于是我们可以求出 \(num_1,num_2,num_3,\cdots,num_n\)，\(|num_1|+|num_2|+\cdots+|num_n|\) 也就不难得到了。

代码

//2022/3/10
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define int long long
#define enter() putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : -(x))
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	while (x < 0) x += mod;
	while (x >= mod) x -= mod;
	return x;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

const int ma = 1e6 + 5;
int a[ma],sum[ma],c[ma];
int n,ave;
#undef int
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    #define int long long
	n = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) a[i] = read(),ave += a[i];
	ave /= n;
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
		c[i] = sum[i] - i * ave;
	}
	sort(c + 1,c + n + 1);
	int ans = 0,standard = c[n / 2];
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		ans += Abs(standard - c[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}