CF940E Cashback

洛谷题面

题目大意

给你一个长度为 \(n\) 的数列 \(a\) 和整数 \(m\)，你需要把它任意分段。每一段假设长度为 \(k\)，就去掉前 \(\lfloor\frac{k}{m}\rfloor\) 小的数。

最小化剩下的数的和。

题目分析

因为要让剩下数的和最小，所以我们要让去掉的数的和最大。

观察 \(\left\lfloor\frac{k}{m}\right\rfloor\)，可知分段对答案有贡献当且仅当 \(k\ge m\)。那么我们 \(k\) 满足什么条件时答案最优呢？

首先，\(k\) 当然要大于等于 \(m\)（废话上面说过了），其次，容易发现一个性质：一段子串长度为 \(k\times m+s\) 时答案不会比一段子串长度为 \(k\times m\) 更优，其中 \(s\) 为常数且 \(1\le s\le m\)。并且我们一定尽量将序列分割为数个长度为 \(k\) 的子串，\(k\) 应尽量小。综上，\(k\) 取 \(m\)。

举个例子：\(k=3\) 且数列为 7 9 8 1 1 1 时，分成 7 9 8 和 1 1 1 贡献为 \(7+1=8\)；但分成 7 9 8 1 1 1 贡献为 \(1+1=2\)。

所以问题转化为：将序列分为数个长度为 \(m\) 的子串（不要求序列长度为 \(m\) 的倍数，即不要求分割的子串连续），每个子串取一个最小值使得取出数之和最大。

令 \(dp_i\) 表示前 \(i\) 个数分割后取出数的和的最大值，于是有：

\[dp_i=\max\{dp_{i-1},dp_{i-m}+\min(i-m+1,i)\} \]

恍然大悟，随便抽一个数据结构来维护即可，我这里用的是 树套树 线段树。

代码

//2022/2/26
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <climits>//need "INT_MAX","INT_MIN"
#include <cstring>//need "memset"
#include <numeric>
#include <algorithm>
#define int long long
#define enter() putchar(10)
#define debug(c,que) cerr << #c << " = " << c << que
#define cek(c) puts(c)
#define blow(arr,st,ed,w) for(register int i = (st);i <= (ed); ++ i) cout << arr[i] << w;
#define speed_up() cin.tie(0),cout.tie(0)
#define mst(a,k) memset(a,k,sizeof(a))
#define Abs(x) ((x) > 0 ? (x) : (-x))
const int mod = 1e9 + 7;
inline int MOD(int x) {
	while (x < 0) x += mod;
	while (x >= mod) x -= mod;
	return x;
}
namespace Newstd {
	char buf[1 << 21],*p1 = buf,*p2 = buf;
	inline int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf,1,1 << 21,stdin),p1 == p2) ? EOF : *p1 ++;
	}
	inline int read() {
		int ret = 0,f = 0;char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if(ch == '-') f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = (ret << 3) + (ret << 1) + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) {
			putchar('-');
			x = -x;
		}
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
	}
}
using namespace Newstd;
using namespace std;

const int ma = 1e5 + 5;
int a[ma],dp[ma];
int n,m,sum;
struct Segment_Tree {
	struct Node {
		int l,r;
		int Min;
	} node[ma << 2];
	#define lson (p << 1)
	#define rson (p << 1 | 1)
	inline void pushup(int p) {
		node[p].Min = min(node[lson].Min,node[rson].Min);
	}
	inline void build(int p,int l,int r) {
		node[p].l = l,node[p].r = r;
		if (l == r) {
			node[p].Min = a[l];
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(lson,l,mid),build(rson,mid + 1,r);
		pushup(p);
	}
	inline int query(int x,int y,int p) {
		if (x <= node[p].l && node[p].r <= y) {
			return node[p].Min;
		}
		int mid = node[p].l + node[p].r >> 1,res = INT_MAX;
		if (x <= mid) res = min(res,query(x,y,lson));
		if (y > mid) res = min(res,query(x,y,rson));
		return res;
	}
	#undef lson
	#undef rson
} seg;
#undef int
int main(void) {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	#define int long long
	n = read(),m = read();
	for (register int i = 1;i <= n; ++ i) {
		a[i] = read();
		sum += a[i];
	}
	seg.build(1,1,n);
	for (register int i = m;i <= n; ++ i) {
		dp[i] = max(dp[i - 1],dp[i - m] + seg.query(i - m + 1,i,1));
	}
	printf("%lld\n",sum - dp[n]);

	return 0;
}