石子合并（弱化版）

洛谷题面

题目大意

设有 $N(N \le 300)$ 堆石子排成一排，其编号为 $1,2,3,\cdots,N$。每堆石子有一定的质量 $m_i(m_i \le 1000)$。

现在要将这 $N$ 堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻。合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

试找出一种合理的方法，使总的代价最小，并输出最小代价。

题目分析

辨别区间 $\rm DP$ 的方式：

从小区间延伸到大区间（合并等方式）。

许多括号数数题就是区间 $\rm DP$ 好题，今年 $\verb!2021-CSP-S-括号序列!$ 不妨一做。

---

令 $dp[l][r]$ 表示区间 $[l,r]$ 内合并的最小代价。

枚举左右区间，再枚举中间断点来判断是否答案会变得更优：

$dp[l][r]=\min\{dp[l][k]+dp[k+1][r]+cost\}(l\le k\lt r)$。

其中 $cost$ 表示 $\sum\limits_{i=l}^{r}a_i$。

枚举区间（左右+断点）复杂度为 $O(N^3)$，中间枚举价值的部分又是 $O(N)$，总时间复杂度 $O(N^4)$。

枚举价值部分可以通过前缀和优化，优化为 $O(N^3)$。

代码

//2022/1/6

const int INF=0x3f3f3f3f;

const int ma=305;

int a[ma],sum[ma];

int dp[ma][ma];

int n;

int main(void)
{
	n=read();
	
	Input_Int(n,a);
	
	for(register int i=1;i<=n;i++)
	{
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	
	for(register int len=2;len<=n;len++)
	{
		for(register int l=1;l+len-1<=n;l++)
		{
			int r=l+len-1;
			
			dp[l][r]=INF;
			
			for(register int k=l;k<r;k++)
			{
				int w=sum[r]-sum[l-1];
				
				dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+w);
			}
		}
	}
	
	printf("%d\n",dp[1][n]);
	
	return 0;
}