[UVa 10603] Fill
此题是一道经典的搜索题，但其实又是一道经典的“隐式图最短路”问题。
将当前三个杯子中的水量 \((x,y,z)\) 视作“结点”，结点之间的路径长度即为倒水量。题目中要求求解倒水量最少，即求 \((0,0,c)\) 与某一结点 \(u\) 之间的最短路，其中 \(u\) 的某一杯子中的水量为 \(d\) 或 \(d'\)
很明显这个图的边权都为正数，因此可以用 Dijkstra 算法。
需要注意：
- 状态的存储：由前两个杯子中的水量即可确定第三只杯子中的水量
- 答案的更新：有可能有多个结点的水量中都包含\(d\)，因此利用每一个已经得到最短路的结点的\(dist\)对答案进行更新
用\(Dijkstra\)算法很容易做出这道题
//Copyright(C)Corona.
//2018-09-28
//Dijkstra
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN=200+1;
int vis[MAXN][MAXN],dis[MAXN][MAXN];
int cap[3],ans[MAXN];
struct Node
{
int v[3],dist;
Node(int a=0,int b=0,int c=0,int d=0)
{
v[0]=a;v[1]=b;v[2]=c;
dist=d;
}
bool operator < (const Node& rhs)
const{
return dist > rhs.dist;
}
};
void update_ans(Node u)
{
for(int i=0;i<3;i++)
{
int amount=u.v[i];
if(ans[amount] < 0 || ans[amount] > u.dist)
{
ans[amount] = u.dist;
}
}
}
void Dijkstra(int a,int b,int c,int d)
{
cap[0]=a;cap[1]=b;cap[2]=c;
memset(ans,-1,sizeof(ans));
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
priority_queue<Node>Q;
Q.push(Node(0,0,c,0));
dis[0][0]=0;
while(!Q.empty())
{
Node u=Q.top();Q.pop();
if(vis[u.v[0]][u.v[1]])continue;
vis[u.v[0]][u.v[1]] = 1;
update_ans(u);
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<3;j++)
if(i != j)
{
int amount=min(u.v[i],cap[j]-u.v[j]);//将 i 中的水倒入 j 中;
Node x=u;
x.v[i] -= amount;x.v[j] += amount;
x.dist = u.dist + amount;
if(!vis[x.v[0]][x.v[1]] && dis[x.v[0]][x.v[1]] > x.dist)
{
dis[x.v[0]][x.v[1]] = x.dist;
Q.push(x);
}
}
}
}
void print_ans(int aim)
{
for(int d=aim;d>=0;d--)
if(ans[d] >=0 )
{
cout << ans[d] <<" "<< d <<endl;
break;
}
}
int main()
{
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
int a,b,c,d;
cin >>a>>b>>c>>d;
Dijkstra(a,b,c,d);
print_ans(d);
}
return 0;
}
但是如果用\(Bellman-Ford\)算法的话,需要注意一点小细节
比如下面的程序,看似很正确,就是经典的\(Bellman-Ford\)算法应用.但是如和上面的\(Dijkstra\)对拍一下,会发现几组数据,比如:
1 90 149 94
1 8 10 5
\(Bellman-Ford\)算法都不能得到正确结果.
经过很长长长长长时间的调(瞎)试(搞),我终于发现了问题:
当要将一个结点塞入队列时,如果队列里已经有了这个元素,所以不会重复入队
问题就出在这里,比如这次结点 \((0,1,3)\) 的最短路从\(10\)更新到了\(6\) , 发现\((0,1,3)\) 已经在队列中,于是不再重复入队,可当从队列取出\((0,1,3)\)这个元素去更新其他结点时,
程序中是从队列中拿出了一个结构体变量,用Node类型的dist成员来代表最短路,可是此时u.dist的值是\(10\)而非\(6\)!
改正的方法也很简单,只要在弹出队首元素后更新一下它的dist就可以了
即在Q.pop()后加一句u.dist=dis[u.v[0]][u.v[1]]
又是一行的问题
//Copyright(C)Corona.
//2018-11-05
//Bellman_Ford
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;
const int MAXN = 200+1;
int dis[MAXN][MAXN],ans[MAXN],cap[3];
int inq[MAXN][MAXN];
struct Node
{
int v[3],dist;
Node(int a=0,int b=0,int c=0,int d=0)
{
v[0]=a;v[1]=b;v[2]=c;
dist=d;
}
};
void update_ans(Node u)
{
for(int i=0;i<3;i++)
{
int amount=u.v[i];
if(ans[amount] < 0 || ans[amount] > u.dist)
{
ans[amount] = u.dist;
}
}
}
void print_ans(int aim)
{
for(int d=aim;d>=0;d--)
if(ans[d] >=0 )
{
cout << ans[d] <<" "<< d <<endl;
break;
}
}
queue<Node>Q;
void Bellman_Ford(int a,int b,int c,int d)
{
cap[0]=a;cap[1]=b;cap[2]=c;
memset(ans,-1,sizeof(ans));
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
memset(inq,0,sizeof(inq));
Q.push(Node(0,0,c,0));
dis[0][0]=0;
inq[0][0]=true;
while(!Q.empty())
{
Node u=Q.front();
Q.pop();
inq[u.v[0]][u.v[1]]=0;
update_ans(u);
for(int i=0;i<3;i++)
for(int j=0;j<3;j++)
if(i != j)
{
int amount=min(u.v[i],cap[j]-u.v[j]);//将 i 中的水倒入 j 中;
Node x=u;
x.v[i] -= amount;
x.v[j] += amount;
x.dist = u.dist + amount;
if(dis[x.v[0]][x.v[1]] > x.dist)
{
dis[x.v[0]][x.v[1]] = x.dist;
if(!inq[x.v[0]][x.v[1]])
{
Q.push(x);
inq[x.v[0]][x.v[1]]=1;
}
}
}
}
}
int main()
{
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
int a,b,c,d;
cin >>a>>b>>c>>d;
Bellman_Ford(a,b,c,d);
print_ans(d);
}
return 0;
}
