可持久化。

强制转发一波柱子恒的讲解，有些题题解我也有QAQ。

最近跑来打数据结构，于是我决定搞一发可持久化，然后发现……一发不可收啊……

对于可持久化数据结构，其最大的特征是“历史版本查询”，即可以回到某一次修改之前的状态，并继续操作；而这种“历史版本查询”会衍生出其他一些强大的操作。

今天，我们主要讲解可持久化线段树。其实，它的另外一个名字“主席树”似乎更加为人所知（主席%%%）。

主席树与普通的线段树相比，多出来的操作是在修改时复制修改的一条链，这个操作的过程大概长下面这样。

至于为什么要这样做……

对数据进行可持久化，一种朴素的想法是每一次修改新建一棵线段树，但是，时间复杂度和空间复杂度都是不允许我们做这样的操作的。

我们思考一下，每一次修改，只有一条链上的节点被修改，而其他的节点信息都没有变。因此，我们对这一次修改新建包括一个新根在内的log_n个节点，其他的节点我们与上一课树共用。这样一来，我们既能保存之前的信息，又能进行修改操作。

主席树插入操作代码见下，有指针和数组2种版本：

指针版本：

 1 void insert(node *&a,node *b,int l,int r,int pos)
 2 {
 3     a->cnt=b->cnt+1;//cnt表示这一棵树里的数据个数，a是新树，b是旧树，下同
 4     int mi=(l+r)>>1;
 5     if(l==r)return;
 6     if(pos<=mi)
 7     {
 8         a->ch[1]=b->ch[1],a->ch[0]=newnode();
 9         insert(a->ch[0],b->ch[0],l,mi,pos);
10     }
11     else 
12     {
13         a->ch[0]=b->ch[0],a->ch[1]=newnode();
14         insert(a->ch[1],b->ch[1],mi+1,r,pos);
15     }
16     a->update();
17 }

数组版本：

1 void insert(int rt1,int rt2,int l,int r,int pos)
2 {
3     if(l==r){cnt[rt1]=cnt[rt2]+1;return;}//cnt表示数据个数,rt1是新树，rt2是旧树
4     lc[rt1]=lc[rt2],rc[rt1]=rc[rt2];
5     int mi=(l+r)>>1;
6     if(pos<=mi)lc[rt1]=++tot,insert(lc[rt1],lc[rt2],l,mi,pos);
7     else rc[rt1]=++tot,insert(rc[rt1],rc[rt2],mi+1,r,pos);
8     cnt[rt1]=cnt[lc[rt1]]+cnt[rc[rt1]];
9 }

这一部分的基础题大概有cogs2554（http://cogs.pro/cogs/problem/problem.php?pid=2554 ），这就是一道主席树的入门水题，完全没有了解的同学可以通过这道题来入门。

可能有同学注意到了上面插入代码的cnt变量，它其实有大用：接下来，我们考虑用主席树进行一些更高级的操作：维护静态的区间第k大（小）值。

为什么主席树可以维护这个?

在对于一个序列查询k大（小）值时，我们把主席树建成权值线段树，每插入一个数就新建一个版本。这时，不难看出主席树具有区间可减性：

对于某一个区间【L,R】插入b个数以后区间中树的个数，减去【L,R】插入a-1个数以后区间中数的个数，

结果就是区间【a，b】中权值在【L,R】的数的个数。这样利用cnt变量不断查询，我们就可以找到某一个区间中第k大（小）的值

我们在代码实现时，只需要同时传入2个节点，并且比较区间数据个数之差与k的大小关系，进行移动即可

查询操作代码见下：

 1 inline int query(int l,int r,int u,int v,int k)
 2 {
 3     node *a=root[u-1],*b=root[v];
 4     while(l<r)
 5     {
 6         int tmp=b->ch[0]->cnt-a->ch[0]->cnt,mi=(l+r)>>1;
 7         if(tmp>=k)a=a->ch[0],b=b->ch[0],r=mi;
 8         else a=a->ch[1],b=b->ch[1],k-=tmp,l=mi+1;
 9     }
10     return r;
11 }