【扩展欧几里得】BAPC2014 I Interesting Integers (Codeforces GYM 100526)

题目链接：

　　http://codeforces.com/gym/100526

　　http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11672&courseid=0

题目大意：

　　给定任意一个N，(N<=10⁹)求斐波那契—卢卡斯数列的前两项A和B。(先满足B最小再满足A最小，A<=B)

　　斐波那契—卢卡斯数列是斐波那契数列的推广，斐波那契数列f[0]=0,f[1]=1，斐波那契—卢卡斯数列f[0]=A,f[1]=B。

　　二者均满足f[i]=f[i-1]+f[i-2],i>=2。

题目思路：

　　【数论】【扩展欧几里得】

　　首先如果数列S是斐波那契数列，则A*S，S+S也满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。

　　那么考虑A=1，B=0的斐波那契—卢卡斯数列S1，为第一个数对最终答案的影响。

　　同样，A=0，B=1的斐波那契—卢卡斯数列S2，为第二个数对最终答案的影响。

　　容易得到这两个数列是错位的斐波那契数列

　　S1=1,0,1,1,2,3,5...

　　S2=0,1,1,2,3,5,8...

　　S2[i]=S1[i+1].

　　而把S1*A+S2*B如果能含有N，则A B的最小解即为所求。

　　所以只需要求出斐波那契数列的前45项(10⁹内)，接下来就是枚举N是由斐波那契数列中哪两个相邻的数分别乘A和B得到的。

　　即A*f[i]+B*f[i-1]=N。可以对f[i],f[i-1]扩展欧几里得，求出对应的A和B，看看能否把X,Y调成满足题意得(0<B<=A)如果行则为答案。

 

//
//by coolxxx
//#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<memory.h>
#include<time.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
//#include<stdbool.h>
#include<math.h>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define abs(a) ((a)>0?(a):(-(a)))
#define lowbit(a) (a&(-a))
#define sqr(a) ((a)*(a))
#define swap(a,b) ((a)^=(b),(b)^=(a),(a)^=(b))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define eps (1e-8)
#define J 10
#define mod 1000000007
#define MAX 0x7f7f7f7f
#define PI 3.14159265358979323
#define N 54
using namespace std;
typedef long long LL;
int cas,cass;
int n,m,lll,ans;
int f[N]={1,0};
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b){x=1,y=0;return a;}
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
//    freopen("1.txt","r",stdin);
//    freopen("2.txt","w",stdout);
    #endif
    int i,j,k;
    LL a,b,c,d,x,y,lcm,ii;
    for(i=1;i<45;i++)
        f[i+1]=f[i-1]+f[i];
    for(scanf("%d",&cas);cas;cas--)
//    for(scanf("%d",&cas),cass=1;cass<=cas;cass++)
//    while(~scanf("%s",s+1))
//    while(~scanf("%d",&n))
    {
        scanf("%d",&n);
        for(k=45;k && f[k]>n;k--);
        if(f[k]==n)
        {
            puts("1 1");
            continue;
        }
        for(i=k;i>2;i--)
        {
            a=f[i];b=f[i-1];c=n;
            lcm=a*b;
            d=exgcd(a,b,x,y);
            x=x%b+b;
            y=(1-x*a)/b;
            x*=c;y*=c;
            if(y<=0)
            {
                ii=(y-a+1)/(-a);
                y+=ii*a;
                x-=ii*b;
            }
            while((x-b)>=(y+a))x-=b,y+=a;
            if(x<=0 || y<=0 || y>x)continue;
            printf("%I64d %I64d\n",y,x);
            break;
        }
    }
    return 0;
}
/*
//

//
*/