Backpack_Problem背包问题

背包问题入门篇

首先当然是我们最熟悉的01背包啦！

最简单的想法是，二维dp数组，不考虑其他的优化。

状态：

dp[i][j] 表示取第 i 个物品，总体积为 j 时候的情况。

那么我们就会获得两种转移情况，对于下一个物品。一种是取了，一种是没取。

于是我们获得了状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);

这里要说明的是，01背包大多数都是对 j 倒序枚举，而完全背包则是正序枚举。

至于为什么是这种顺序或者那种顺序，只需要看状态转移是怎么转移的就好啦。

实在不行可以画个图帮忙理解。

当然，这里既然用的是二维dp数组，那就无需倒序啦。

部分代码展示如下：

    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = 0;j <= m;j++){
            if (v[i] > j){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
            else{
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

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有了01背包，怎么能少了完全背包呢！

基于上题，这里就不多做赘述，直接上关键部分（一维dp数组优化）。

状态：

dp[j] 表示总体积为 j 时候的情况。

状态转移方程：

dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]] + w[i]);

部分代码展示如下：

    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = v[i];j <= m;j++){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]] + w[i]);
        }
    }

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接下来要登场的是大名鼎鼎的多重背包！

顾名思义，每种物品可以取多个（有限）。

状态：

dp[j] 表示总体积为 j 时候的情况。

状态转移方程：

dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]] + w[i]);

什么嘛，这跟前几个的状态转移方程有什么区别嘛！这不是唬人呢嘛！

其实，多重背包的重点在于for循环的不同。

对于数据量比较小的情况，我们直接暴力三重for就行了，代码如下：

    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int k = 1;k <= l[i];k++){
            for (int j = m;j >= v[i];j--){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

解释一下：

第一重 i 的含义不变，枚举第 i 种物品的情况；

第二重 k 的含义是 我这一种（第 i 种）物品一共有l[i]个，那么我当然可以取从1到l[i]个该种物品啦！

第三重 j 的含义就很简单啦，首先我们看到这是逆序遍历的，是因为这其实相当于一个01背包，只不过把l[i]次展开了而已，

又因为我们用的是一维dp数组，故采用逆序遍历的方法。这里的下界的意思是，

如果这个物品的体积比j还大，那么显然不用考虑了，直接continue就可以了。

当然，对于数据量较大（真的很大）的多重背包我们就不能这么写了（除非你有量子计算机之类的bushi）。

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那么应该如何写呢，我们来看。

话不多说，先上代码：

    for (int i = 1;i <= n;i++){
        int res = l[i];
        for (int k = 1;k <= res; res -= k, k *= 2){
            for (int j = m;j >= v[i] * k;j--){
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]*k] + w[i]*k);
            }
        }
        for (int j = m; j >= v[i] * res;j--){
            dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[i]*res] + w[i] * res);
        }
    }

可以看到，我们在每次枚举i的时候，都用一个res把该种物品的个数记下来。

对于每一次枚举k，我们让res -= k && k *= 2

也就是说，这里res就记录的是剩余的数量（因为把k个都拿走了）。

至于这里为什么让k *= 2，牵扯到一个数学小知识：

1,2,...,2^m中选一些数字相加，可以得出任意的∈[ 0 , 2^m+1 )的值，且每个数字只能用一次。

用数学归纳法不难证明。

这样一来，我们的第二重循环的复杂度就由n化到了logn，与此同时，j也随之变化。

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此外，还有一种基于单调队列的多重背包实现方法，这里暂时挖个坑，以后可能会添加进来（）。

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下面是分组背包。懒了，直接上代码：

    for (int i = 1;i <= 1000;i++){
        for (int j = m;j >= 0;j--){
            for (auto k: c[i]){    //vector <int> c;
                 if (v[k] <= j)
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-v[k]]+w[k]);
            }
        }
    }

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以及二维背包。偷懒++：

    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = m;j >= v[i];j--){
            for (int x = k;x >= t[i];x--){
                dp[j][x] = max(dp[j][x],dp[j-v[i]][x-t[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

后续的多维背包也是一样的思路（暂且略之）。