编程之美NIM游戏及其扩展

编程之美上面有个NIM的游戏，规则如下：

有n堆石头，两个人轮流从中取，一次只能在一堆中取，至少取一个，最多把这一堆取完，取得最后一个石头的人胜利，问谁有必胜策略。

解：

         设这n堆石头的个数分别是X1,X2……Xn，设F(X)= X1 ^X2 ^ X3……^Xn。如果F(X)= 0则后取的获胜，否则，先取的获胜。

 

证明:

         如果这剩下的石头的个数的的异或值为0，则无论从一堆中取多少个，取完之后剩下的异或值一定不是0，反之，如果异或值不为0，那么一定可以从一堆中取一些，从而使取完之后的异或值为0.

 

但是，有一个似乎更难的题目，就是有n堆石头，两个人轮流从中取，一次只能在一堆中取，至少取一个，最多把这一堆取完，取得最后一个石头的人输，问谁有必胜策略。

 

这个题目的结果与上面完全相同。

 

证明如下：

         显然，如果某一个人取之前面临的状态是k,1,1,1,1…1，也就是除了一堆不是1，其它的都是1，则这个人一定会胜利，因为这个人可以保证取完之后每一堆剩下的数目都是1，并且还有奇数个，然后这个人一定胜利。

         在游戏开始的时候，如果F(x)=0，则说明第一个人取完之后，F(x)!=0，所以，说明第一个人取完之后游戏的状态不可能全部是1，这样，在第二个人思考的时候，如果此时他面临的状态是k,1,1,…1，则它一定胜利，否则他就从一堆中取，从而使取完之后F(x)=0，这样一直下去，也就是说，最后出现的k,1,1,1…1 一定是第二个人首先看到，这样他一定胜利。

         反之，如果F(x)!= 0，则如果第一个人面临的状态是k,1,1,1…1，则他一定胜利，否则，他可以保证自己取之后使F(x)=0，显然，F(x)=0的时候一定不可能是k,1,1,1…1的状态，也就是说，状态k,1,1,1..1这种状态永远不是第二个人会碰到的，于是，总会到一定时候，第一个人在自己取的时候面临着k,1,1,1..1的状态。当然，如果第一个人取的时候不是k,1,1,1..1的状态，他就应该使自己取完之后F(x)=0。

         证明完毕

 

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