[组合数][差分约束][前缀和] Jzoj P5922 sequence

Description

小 F 是一位 Hack 国的居民，他生活在一条长度为 n 的街道上，这个街道上总共有 n 个商店。每个商店里售卖着不同的 Hack 技能包，每个商店本身也会有个便利值。初始时，每个商店的便利值均为 0。每一天，街道上都会有一些商店优化改造。
具体来说，对于每一天，优化改造的商店都是一个连续的区间 l ∼ r，每次优化改造也会有一个优化参数 k。对于所有 l ≤ i ≤ r ，第 i 个商店的便利值会增加
。

小 F 想知道，m 天之后，每个商店的便利值分别是多少。由于小 F 并不喜欢高精度，因此你只需要输出便利值对 10^9 + 7 取模的结果。

 

Input

从文件sequence.in中读入数据。
第 1 行，两个整数 n, m 表示街道的长度与天数。
接下来的 m 行，每行三个整数 l, r, k，表示第 i 天优化改造的商店区间和优化参数。

Output

输出到文件sequence.out中，共 n 行。
每行 1 个整数，表示第 i 个商店的便利值对 109 + 7 取模的结果。

 

Sample Input

5 3
1 4 3
2 5 0
3 4 2


Sample 2
见选手目录下的sequence/sequence2.in与sequence/sequence2.ans。
该组样例的数据范围同第 1 个测试点。
 

Sample Output

1
5
12
24
1


第 1 次操作之后，每个商店的便利值分别为 1, 4, 10, 20, 0。
第 2 次操作之后，每个商店的便利值分别为 1, 5, 11, 21, 1。
第 3 次操作之后，每个商店的便利值分别为 1, 5, 12, 24, 1。

 

Data Constraint

对于 100% 的数据，满足 1 ≤ n, m ≤ 5 × 10^5, 0 ≤ k ≤ 20。除此之外，对于每个数据点，还满足以下限制。

 

题解

• 组合数有一个简单的性质，C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)，定眼一看这不就是杨辉三角吗
• 解释一下为什么吧，现在把n分成两组分别是n-1和1，一共选k个方案数数多少，显然也就是在n-1个里选k个或在n-1个里选k-1给在加上另一组的一个
• 那么这样的话，暴力修改显然不行，思考一下，每两次操作之间是没有影响的，可以考虑一下递推来求
• 然后用差分约束，考虑一下怎么递推，由上面的公式可以发现，也就是c[i-1][j]+c[i-1][j-1]
• 那么再下一个会发现c[i-2][j]+c[i-2][j-1]+c[i-2][j-1]+c[i-2][j-2]
• 这样的话，仅仅只保留k-1是不行的，那么就可以保留0~k，然后差分约束的右端点+1也是保留0~k
• 然后计算一波递推式，答案就是b[i][0]

代码

#include<cstdio>    
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#define mo 1000000007
#define N 500030
#define M 30
using namespace std;
typedef long long ll;
ll c[N][M],b[N][M],n,m,l,r,k;
void init()
{
    c[0][0]=1;
    for (ll i=1;i<=500020;i++)
        for (ll j=0;j<=i&&j<=21;j++)
            c[i][j]=(j!=0)?(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mo:1;
}
int main()
{
    freopen("sequence.in","r",stdin),freopen("sequence.out","w",stdout);
    init();
      scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (ll i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
        for(ll j=0;j<=k;j++) b[l][j]=(b[l][j]+c[k][k-j])%mo,b[r+1][j]=(b[r+1][j]-c[k+r-l+1][k-j])%mo;
    }
    for (ll i=1;i<=n;i++)
        for (ll j=21;j>=1;j--)
            b[i+1][j-1]=(b[i+1][j-1]+b[i][j]+b[i][j-1])%mo;
    for(ll i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",(b[i][0]%mo+mo)%mo);
    return 0;
}