[数位dp][斯特林反演] Jzoj P5765 相互再归的鹅妈妈
题解
- 题目大意:选出n个0~R-1的数,两两不能相同,要使得这n个数的异或和为0,求方案数
- 要求求无序方案,可以转化为求有序方案,最后除n!
- 现在,考虑一下,如果不要求两两不能相同(就是可以相同),可以怎么做
- 枚举脱离限制的位置(该位置在R中必须为1),脱离限制也就是说后面怎样选都不会超过R(也就是R为1的位置选了0)
- 可以用g(n)表示,选n个数异或值为0的方案数
- 然后,考虑加上两两必须不同
- 可以用斯特林反演式子来求容斥
- 式子:[𝑚=1]=∑︀∏︀(𝑘,𝑖=1)(𝑎[𝑖] − 1)!(−1)^𝑎[𝑖]−1
- 枚举一个m的集合划分,其实k就是这种集合划分方案的几何数,而a表示各个集合的大小(可以用dfs实现)
- 注意,答案最后要除于n!,要用逆元做
代码
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #define M 5000010 5 #define N 8 6 #define ll long long 7 #define up(x,y) x=(x+(y))%mod 8 using namespace std; 9 const int mod=1000000007; 10 int n,m,K,w[M],p2[M][N],pw[M][N]; 11 ll g[N],C[N][N],f[N],fac[N],ans; 12 char s[50010]; 13 bool a[M]; 14 ll ksm(ll a,ll b) 15 { 16 ll r=1; 17 for(;b;b>>=1,a=a*a%mod) if(b&1) r=r*a%mod; 18 return r; 19 } 20 void find(int num,int v) 21 { 22 if(v>n) 23 { 24 ll c=1,cnt=0; 25 for(int i=1;i<=num;i++) c=c*fac[f[i]-1]*((f[i]&1)?1:-1)%mod; 26 for(int i=1;i<=num;i++) if(f[i]&1) cnt++; else c=c*w[1]%mod; 27 up(ans,c*g[cnt]); 28 return; 29 } 30 for(int i=1;i<=num+1;i++) f[i]++,find(max(num,i),v+1),f[i]--; 31 } 32 int main() 33 { 34 scanf("%d%d%s",&n,&K,s+1); 35 m=strlen(s+1); 36 for(int i=0;i<K;i++) 37 for(int j=1;j<=m;j++) 38 a[i*m+j]=s[j]-'0'; 39 m*=K; 40 for(int i=m,mi=1;i;i--,mi=(mi<<1)%mod) w[i]=(w[i+1]+mi*a[i])%mod; 41 fac[0]=1; 42 for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 43 C[0][0]=1; 44 for(int i=1;i<=n;C[i][0]=1,i++) 45 for(int j=1;j<=i;j++) 46 C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod; 47 bool flag=0; 48 g[0]=1; 49 for(int i=0,tmp=1;i<=m+1;i++,tmp=(tmp<<1)%mod) 50 { 51 p2[i][0]=pw[i][0]=1; 52 for(int j=1;j<=n;j++) p2[i][j]=(ll)tmp*p2[i][j-1]%mod,pw[i][j]=(ll)w[i]*pw[i][j-1]%mod; 53 } 54 for(int i=1;i<=m;flag|=a[i],i++) 55 if(a[i]) 56 for(int j=1;j<=n;j++) 57 if(!flag||!(j&1)) 58 for(int k=0;k<=((j-1)>>1);k++) 59 up(g[j],C[j][k<<1]*pw[i+1][k<<1]%mod*p2[m-i][j-(k<<1)-1]); 60 find(0,1); 61 printf("%lld",(ans+mod)*ksm(fac[n],mod-2)%mod); 62 return 0; 63 }