[期望] Jzoj P3459 TheSwaps
题解
- k次交换后,ans=每一位的期望值*每一位被选出的概率
- 显然第i位被选出的概率=包含i的子串数/总子串数=i*(n-i+1)/(n*(n+1)/2)
- 那如何求k次交换后每一位的期望值?
- 我们假设最初第i位为ai,p次交换后第i位仍然等于ai的概率是x,那么p+1交换后第i为仍然等于ai的概率是x*(1-(n-1)/q))+(1-x)/q
- 其中q=n*(n-1)/2
- 接下来有一个性质:
- 如果第i位不为ai,那么第i位是a中其他任何数的概率都是一样的(交换的随机性决定的)
- 因此如果k次交换后,第i位为ai的概率是x,那么第i位的期望值=ai*x+(sum-ai)/(n-1)*(1-x)
- 以上是题解的说法
代码
1 #include <cstdio> 2 #include <iostream> 3 #include <algorithm> 4 #include <cstring> 5 using namespace std; 6 char s[1000010]; 7 int k,n,a[1000010],sum; 8 double x,q,a1,a2,ans; 9 int main() 10 { 11 scanf("%s %d",s,&k); 12 n=strlen(s); 13 for (int i=1;i<=n;i++) 14 { 15 a[i]=s[i-1]-'0'; 16 sum+=a[i]; 17 } 18 x=1.0; q=(n-1.0)*n/2.0; 19 for (int i=1;i<=k;i++) x=x*(1.0-(n-1.0)/q)+(1.0-x)/q; 20 for (int i=1;i<=n;i++) 21 { 22 a1=i*(double)(n-i+1.0)/(double)(n*(n+1.0)/2.0); 23 a2=(double)a[i]*x+(double)(sum-a[i])/(double)(n-1.0)*(1.0-x); 24 ans+=a1*a2; 25 } 26 printf("%.9lf",ans); 27 return 0; 28 }