[组合数][高精度] Jzoj P3431 网络
题解
- 从(0,0)到(n,m)随便走的方案数为C(n+m,m)
- 然后题目要求不能穿过y=x这条直线,也就是不能碰到y=x+1的直线
- 那么我们考虑将一条不合法的路线沿着y=x+1对称过去,那么(n,m)对称过去的点就是(m-1,n+1)
- 考虑Catalan数的证明过程,发现从原点走到对称点(m-1,n+1)的一条路径都可以对称回来,并对应着一条从原点走到终点(n,m)穿过y=x的直线的路径
- 所以穿过y=x的路径数就是从原点走向对称终点的路径是也就是C(n+1+m-1,m-1)=C(n+m,m-1)
- 所有答案就是C(n+m,m)=C(n+m,m-1)
- 可以把式子化简一下:
- 通分后得:
- 最后打个高精度就ok了
代码
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 const int N=10000,M=N*10; 6 struct num 7 { 8 int shu[N]; 9 friend num operator-(num y,num z) 10 { 11 num x;memset(x.shu,0,sizeof(x.shu)),x.shu[0]=y.shu[0]; 12 for (int i=1;i<=x.shu[0];i++) 13 { 14 x.shu[i]+=y.shu[i]-z.shu[i]; 15 if (x.shu[i]<0) x.shu[i]+=M,x.shu[i+1]--; 16 } 17 while (!x.shu[x.shu[0]]) x.shu[0]--; 18 return x; 19 } 20 friend num operator*(num y,int z) 21 { 22 num x;memset(x.shu,0,sizeof(x.shu)),x.shu[0]=y.shu[0]; 23 for (int i=1;i<=x.shu[0];i++) x.shu[i]+=y.shu[i]*z,x.shu[i+1]+=x.shu[i]/M,x.shu[i]%=M; 24 while (x.shu[x.shu[0]+1]) x.shu[0]++; 25 return x; 26 } 27 }ans; 28 int p[N+5],c[N+5],n,m; 29 void recout(int x,int f) { for(;x!=1;x/=p[x]) c[p[x]]+=f; } 30 num C(int m,int n) 31 { 32 num x;memset(x.shu,0,sizeof(x.shu)),x.shu[0]=x.shu[1]=1,memset(c,0,sizeof(c)); 33 for (int i=n+1;i<=m;i++) recout(i,1); 34 for (int i=1;i<=m-n;i++) recout(i,-1); 35 for (int i=1;i<=N;i++) for (int j=1;j<=c[i];j++) x=x*i; 36 return x; 37 } 38 int main() 39 { 40 for (int i=2;i<=N;i++) if (!p[i]) for (int j=1;j<=N/i;j++) p[i*j]=i; 41 scanf("%d%d",&n,&m),ans=C(m+n,m)-C(m+n,m-1),printf("%d",ans.shu[ans.shu[0]]); 42 for (int i=ans.shu[0]-1;i>=1;i--) printf("%05d",ans.shu[i]); 43 }