【举个栗子】老是记不住的概率论定义

随机变量是一个对现实世界的数学建模，将文字表述的事件描述为数学代号。将特点事件的概率描述为变量的特定取值概率或取值范围概率。

累计分布函数(cdf)是一个特殊的概率，表示为\(F_X(x)=P(X \le x)\)，是单调非递减函数。

概率密度函数(pdf)是另一个特殊的概率，对于连续的cdf，pdf是cdf的导数，表示为\(f_X(x)=F\prime_X(x)\) ；对于离散的cdf，pdf是cdf的差分表示。

如果发生概率是概率的准确估计值，那么期望就等于平均值。

对于离散随机变量：

\[E[X]=\sum_i x_iP(X=x_i) \]

对于连续随机变量：

\[E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)dx \]

相对频率与概率一般并不相同，为了区别，称期望为统计平均，日常用的平均值为样本平均。

随机变量的映射输出不是固定数字而是时间函数\(x(t)\)时，函数\(x(t)\)称为随机过程的实现。\(X(\omega)=x(t),\omega \in S,x \in F,-\infty<t<\infty\)。\(S\)是样本空间，\(F\)是实数轴上一个函数集合。