版权申明：本文为博主窗户(Colin Cai)原创，欢迎转帖。如要转贴，必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/9489225.html 作者：窗户 QQ/微信：6679072 E-mail：6679072@qq.com
接着上两章内容，我们还是得继续寻找有限域的构造方法。上章证明矩阵环是个单环，自然是没戏了，但我们还可以考虑多项式环。
多项式环
多项式是我们大家熟知的概念，以下都是一元多项式：
1
2x+4
x2+2x+3
3x2+5x2+9
...
所谓的一元就是只有一个未知数，在这里我就不对于一元多项式给出一个严格的定义了，直接解释多项式环。
所谓一个环A的多项式环B，指的是如下：
(1) B的每个元是一个一元多项式
(2) B的每个元(一元多项式)的每一个系数都是A上的元
(3) 系数全是A上的元的一元多项式都是B的元
多项式的加法、减法就是合并同类项，因为系数取自一个环，所以系数间的加法、减法是合法的，会得到别的多项式。
同样，多项式的乘法要麻烦一点，不过也是得到多项式的。多项式的乘法是利用分配律，展开各项。以下整系数多项式的例子可以让我们回忆起多项式的乘法：
(x2+2x+3) * (3x+5)
= (x2+2x+3) * 3x + (x2+2x+3) * 5
= x2 * 3x + 2x * 3x + 3 * 3x + x2 * 5 + 2x * 5 + 3 *5
= 3x3 + 6x2 + 9x + 5x2 + 10x + 15
= 3x3 + 11x2 + 19x + 15
因为系数都在一个环里，所有乘法、加法都是封闭的，所以多项式乘法也是一样合法的。
所以多项式环当然是环。
可能有的人想问，为什么这里非要用一元多项式？
其实我们在刚才的多项式环定义那里为多项式引入任意多个未知数（甚至无穷多个未知数），其组成的代数系统依然为环，只是多元的多项式环挺复杂，这里不研究。
不可分多项式
我们知道质数是2、3、5、7、11、13、17...这样除了1和本身外没有其他正约数的正整数。
我们在这里对质数做一个引申。
一个多项式环上的任意多项式，当然可以表示为1和自身的乘积，当然也可以表示为-1(1元的相反元)和自身的相反元的乘积，这两者都是很平凡的。
比如：
x2+x+1 = 1 * (x2+x+1)
= -1 * (-x2-x-1)
这都是平凡的，没什么意义。
如果是域上的多项式环，里面任何多项式表示成域上任何一个非0元和一个多项式的乘积。从而，这些也都是平凡的。
而所谓真正意义上的分解，就是要求两个乘积项都不是常数，也就是次数是大于0的。
比如，
x2+2x+1 = (x+1) * (x+1)
不可分解的多项式我们称之为不可分多项式。
比如整数系数下的x2+x+1就是不可分多项式，实际上，即使是2元域（0/1两个元组成的特征2的域）上，这个多项式也是不可分多项式。
但在7元域（0/1/2/3/4/5/6组成的特征7的域）上，
x2+x+1 = (x+3) * (x+5)
多项式的带余除法
我们从小就知道自然数的带余除法，
比如
7÷3 = 2 ... 1
换个写法，7 = 3*2+1
其实，域的多项式环里的多项式也存在这样的带余除法。
对于多项式f和g(g为非0多项式)，一定存在唯一的多项式a和b，满足
f = g*a+b
并且b的次数小于g的次数。
其实证明起来很简单，就如同儿时的竖式除法计算那样，一步步的把高次的项减掉。
比如我们以2阶素域下的多项式 x5+x4+x+1 和 x2+x+1为例
x3 + x +1
_________________________
x2 + x + 1 | x5 + x4 + x + 1
x5 + x4 + x3
______________
x3 + x
x3 + x2 + x
___________
x2 + 1
x2 + x + 1
____________
x
所以，
x5+x4+x+1 = (x2+x+1) * (x3+x+1) + x
带余除法对于后面的理解有至关重要的作用。
有限域
既然想通过商环的方法构造域，那么当然要先考虑多项式环的理想。
我们依然使用生成元的方法去研究。
我们以 p阶素域 作为原本的环 A， 那么A的多项式环称为 B,
我们考虑由多项式 f 生成的理想，我们假设 f 是可以分解的，f = f1 * f2。
f1、f2并不在理想里，很明显，f1、f2的次数比f都低，不存在f乘以一个多项式得到f1 或 f2。
我们再回忆一下商环的运算，根据f = f1 * f2，我们有
商集(f1) * 商集(f2) = 商集(f)
商集(f)其实就是理想，也就是商环里的0元，
从而左边两个非0元乘法得到右边的0元，于是这个商环不是整环，当然更不可能是域了。
于是我们考虑由单个不可分多项式生成的理想。
考虑其下一个m次不可分多项式 f（最高未知数次数为m）生成的理想 C ,
然后我们考虑商环B/C长什么样。
理想C其实是所有以多项式 f 为因子的多项式的集合。
我们考虑所有次数小于m的多项式，根据排列组合的乘法原理，这样的多项式一共有pm个。
对于任意两个不同的次数小于m的多项式，假设为g和h。
g-h为非0的次数小于m的多项式，从而g-h不可能以f为因子，从而g-h不在理想里，从而g和h一定属于不同的商集。
因为g和h选择的随意性，从而这pm个多项式分属于pm个不同的商集。
上面介绍过带余除法，考虑次数大于等于m的多项式，假设有一个这样的多项式h,
一定存在一个多项式a和一个次数小于m的多项式b，使得
h = g*a+b
h-b = g*a
g*a在理想C里，于是h和b在同一个商集里。
由于h选择的随意性，从而任何一个次数大于等于m的多项式都落在那pm个不同的商集里。
所以，我们最终的这个商环也就有pm个元。
这里多项式乘法的可交换性遗传自域乘法的可交换，从而这个商环可交换是必然的。
另外，f的不可分特性导致了如果任意g、h不以f为因子，则g*h也不以f为因子。从而，这个商环是一个整环。
有限的可交换整环，因为其有限性，那么当然是除环，从而当然就是域啦（其实，并不存在有限的不可交换整环，不过这个定理证明有那么点麻烦）。
OK,我们终于找到了构造任意阶有限域的方法。
我们可以用这pm个次数小于m的多项式来代表这个域的各个元素。加法、减法就是合并同类项。
乘法就是多项式乘法结果再利用带余除法除以多项式 f 得到的余数。
我们来举个例子。
x2+x+1 是 2阶素域下的不可分多项式。
利用刚才的手段得到了一个4阶域，我们可以记该域下的4个元为
[0]
[1]
[x]
[x+1]
其四则运算为
[0] + [0] = [0] [0] - [0] = [0] [0] * [0] = [0]
[0] + [1] = [1] [0] - [1] = [1] [0] * [1] = [0] [0] / [1] = [0]
[0] + [x] = [x] [0] - [x] = [x] [0] * [x] = [0] [0] / [x] = [0]
[0] + [x+1] = [x+1] [0] - [x+1] = [x+1] [0] * [x+1] = [0] [0] / [x+1] = [0]
[1] + [0] = [1] [1] - [0] = [1] [1] * [0] = [0]
[1] + [1] = [0] [1] - [1] = [0] [1] * [1] = [1] [1] / [1] = [1]
[1] + [x] = [x+1] [1] - [x] = [x+1] [1] * [x] = [x] [1] / [x] = [x+1]
[1] + [x+1] = [x] [1] - [x+1] = [x] [1] * [x+1] = [x+1] [1] / [x+1] = [x]
[x] + [0] = [x] [x] - [0] = [x] [x] * [0] = [0]
[x] + [1] = [x+1] [x] - [1] = [x+1] [x] * [1] = [x] [x] / [1] = [x]
[x] + [x] = [0] [x] - [x] = [0] [x] * [x] = [x+1] [x] / [x] = [1]
[x] + [x+1] = [1] [x] - [x+1] = [1] [x] * [x+1] = [1] [x] / [x+1] = [x+1]
[x+1] + [0] = [x+1] [x+1] - [0] = [x+1] [x+1] * [0] = [0]
[x+1] + [1] = [x] [x+1] - [1] = [x] [x+1] * [1] = [x+1] [x+1] / [1] = [x+1]
[x+1] + [x] = [1] [x+1] - [x] = [1] [x+1] * [x] = [1] [x+1] / [x] = [x]
[x+1] + [x+1] = [0] [x+1] - [x+1] = [0] [x+1] * [x+1] = [x] [x+1] / [x+1] = [1]
附：上一章有网友提议用LaTeX，嗯，本人确实有点懒，不过后面会考虑的。
另外，很多网上文章这里都写 本原多项式 ，人云亦云，悲哀，一帮只愿去抄书不愿去理解的人啊。
建议还是先去了解一下什么叫本原多项式吧。
