版权申明：本文为博主窗户(Colin Cai)原创，欢迎转帖。如要转贴，必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/7290010.html 作者：窗户 QQ：6679072 E-mail：6679072@qq.com
RSA最终加密、解密都要用到模乘的幂运算，简称模幂运算。
回忆一下RSA，从明文A到密文B
B=Ae1%N
对B解密回到明文A，就是
A=Be2%N
其中，一般来说，加密公钥中的e1一般会比较小，取65537居多，但解密的时候，这个e2是一个非常非常大的数，显然，直接通过e2次模乘来解密是不现实的。
为了让RSA的加密、解密成为现实，我们必须要找一个好的算法来做模幂运算。
借上一节我设定的符号，以区别于传统上的幂的数学表示,
定义a#b为a和b的模乘，
定义a##n为n个a的模乘，或称a的n阶模乘。
a = a##1，
a##2 = a#a，
a##4 = (a##2) # (a##2)，
...
a##2n = (a##2n-1) # (a##2n-1)，
从而，进行了n次模乘，分别获得了1、21 、22 ...2n 个a的模乘结果，
而1、21 、22 ...2n 取其中任意一部分的和可以覆盖1~2n-1的所有整数。
从而我们得到了一个算法来计算a##b：
先不断通过每次得到的新结果自己同自己模乘，得到
a、a##2、a##4...a##2n，使得满足2n≤b<2n+1，
再将b化为二进制表示，实际上也就是表示为2的各次幂相加形式，
然后找到对应每个2的幂次a模乘结果，
然后再把这些结果依次模乘，得到最终结果。
打个比方，如果想求a##21，
21用二进制表示为10101，所以21 = 16+4+1，
第一步，求得a##2，a##4，a##8，a##16，
第二步，取a，a##4，a##16，三者模乘就是最终需要的结果。
当然，可以把第一步求a的2n阶模乘和第二步取需要的模乘融合在一起，这样就不需要存储每一个a的2n阶模乘结果，从而存储空间可以为常数级，而之前存储空间为线性级。
该算法用bc描述如下：
#!/usr/bin/bc -q define mod_mul(a1,a2,n)// a1*a2%n { return a1*a2%n; }
define mod_exp(a,b,n)// a^b%n { while(b%2==0) { a = mod_mul(a,a,n); b /= 2; } ret = a; b /= 2; while(b!=0) { a = mod_mul(a,a,n); if(b%2 == 1) ret = mod_mul(a,ret,n); b /= 2; } return ret; } a=read(); b=read(); n=read(); print mod_exp(a,b,n),"\n" quit
该算法求a##b所做模乘次数：
求各个a的2n阶模乘，所做模乘次数为log2b取整，也就是b的二进制的位数减1；
取相应的2的正整数次幂的模乘结果再做模乘，所做模乘次数为b的二进制中1的个数减1。
两者加一起为模乘次数。
比如上面想求a##21，21用二进制表示为10101，所以该算法所需要模乘次数为(5-1)+(3-1)=6次。
但此算法未必是最优的，我们来看看如下例子：
想求a##441，
441用二进制展开为110111001，于是模乘次数应该是(9-1)+(6-1)=13次。
但我们可以用另外一种方式来求a##441，
441 = 21 * 21，
a##441 = (a##21) ## 21，
我们求b = a##21需要6次模乘，
再求b##21需要6次模乘，总共只需要12次模乘，比刚才少了1次。
441是合数，我们再取个质数，239。
239写成二进制是11101111，那么根据我们的算法应该做的模乘次数为(8-1)+(7-1)=13次。
239 = 14*17+1，
a##239 = ((a##14) ## 17) # a，
先求b = a##14，需要5次模乘，
再求c = b##1，需要5次模乘，
最后再与a模乘，需要1次模乘，
总共11次模乘，比13次要少。
但是，即便是合数分解了，也未必得到更好的结果。
例如49 = 7*7，
分解前，49表示为二进制为110001，要做(6-1)+(3-1)=7次模乘，
可是分解后，7表示为二进制制为111，
总共要做(3-1)+(3-1)+(3-1)+(3-1)=8次模乘了。
从而我们可以知道，我们给出的算法虽然是一个线性时间算法，但未必是最优算法，不过做到线性时间算法，从运算时间复杂度上来说，的确没有时间复杂度是这个算法的低阶无穷大级的算法了，从这个意义上，此算法已经“最优”了。
如何做到最少次模乘？
本问题为以下问题：
(1)集合A初始为{1}
(2)每一步从集合A中取两个数a和b，ab可相同，让c = a+b，再把c并入集合A，
A = A∪{c}
(3)输入正整数e，求A里面有元素e的最小步骤的过程。
可惜此问题获得最优解似乎没有很好的算法，甚至远高于RSA可能基于的安全性——大数分解，但存在相对好的算法，从而可以用来改进我们的模幂算法。
模幂算法是RSA的核心，不仅仅加密解密的时候需要，寻找密钥的时候也是需要的。
