1 2 3 4 5 6 7 8 9 | 版权申明:本文为博主窗户(Colin Cai)原创,欢迎转帖。如要转贴,必须注明原文网址 http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/10629908.html 作者:窗户 QQ/微信:6679072 E-mail:6679072@qq.com |
每当学一门计算机语言,质数表、汉诺塔可以作为早期测试的话题之一。随着深入,都很想快速提高一下对这个语言的把握。这个时候,我觉得排列、组合是合适的。不仅排列、组合的程序相对复杂一些,而且在很多问题的解决上,排列、组合往往是解决中的一部分。以下我们的讨论都是针对有限集。
排列
排列,我们这里可以记为,代表从一个有限集中选择个元素组成的序列,所有的这样的序列组成的集合。注意,序列在于其有序性,和就是不同的序列。例如,所代表的集合是。
组合
组合,我们这里可以记为,代表从一个有限集中选择个元素组成的集合,所有的这样的集合组成的集合。例如,所代表的集合是。
递归完成排列
排列的递归完成理论上可以有无限多种递归方式。
比如我们可以考虑这样的方式来递归:
当时,
当时,
也就是,当时分为以各个元素为首元素的序列集合的并集,
于是用Haskell直接可以如下写
perm::[a] -> Int -> [[a]]
--表示并集 bigcup = foldl (++) [] perm _ 0 = [[]] perm s n = bigcup [[(s!!index:e)|e<-perm [s!!k|k<-[0..length s - 1], k/=index] (n - 1)] | index<-[0..length s - 1]]
用Scheme描述可以如下
(define (perm s n) (define (put-each-to-head s) (let it ((left s) (right '()) (r '())) (if (null? left) r (it (cdr left) (cons (car left) right) (cons (append left right) r))))) (if (zero? n) '(()) (apply append (map (lambda (s2) (map (lambda (n) (cons (car s2) n)) (perm (cdr s2) (- n 1)))) (put-each-to-head s)))))
组合的递归
组合的递归完成理论上也一样可以有无限多种递归方式。
假如我们考虑以下的递归方式:
当时,
当时,
其他时候,任意取一个,有
用Haskell写作
comb::[a] -> Int -> [[a]] comb _ 0 = [[]] comb [] _ = [] comb s n = comb (tail s) n ++ [(head s:x)|x<-comb (tail s) (n - 1)]
用Scheme可以写作
(define (comb s n) (cond ((zero? n) '(())) ((null? s) '()) (else (append (map (lambda (x) (cons (car s) x)) (comb (cdr s) (- n 1))) (comb (cdr s) n)))))
排列的字典顺序
字典顺序输出,依次输出的各序列,其每个元素在原来集合(我们用list表示)中的位置(list中的序号)所构成的序列满足字典顺序。
比如,取2个元素构成的排序按字典顺序为
第一个序列肯定是序号序列依次所对应的元素组成的序列,问题的关键就在于如何根据当前序列找到下一个序列。
其实只需要按照从右向左,一个接一个找有没有可以升高的可能,只要有可能,就找到了下一个序列。
比如我们要从中找3个元素的排列:
最开始,序号序列是,
要找下一个序号序列时,我们从右往左找,发现最后一个2改成3就可以实现最小的字典顺序跨越,
所以接下来的序号序列是,
再从右往左找时,我们发现3时找不到更大的替代了,于是轮到找,1可以替代为2,得到,然后最靠前的补全3个的序列,
得到接下来的序号序列是,
......
字典输出,Scheme可以引入lambda进行惰性计算,R5RS中有delay和force,当然它们可以都是利用lambda进行惰性计算的宏,这样的好处还是不需要生成。而Haskell自身就是惰性的,以下为Haskell的实现,因为计算next用反序比较方便,所以其中next'是反序的,最后生成真实排列的序列才把序列反过来。
perm::[a] -> Int -> [[a]] perm _ 0 = [[]] perm s n = map (\x -> map (s!!) (reverse x)) (dict_seq_rev (length s - 1) n) where dict_seq_rev max_index n = s : remains s where s = reverse [0..n-1] next' s = if null s then [] else if null s' then let s'' = next' (tail s) in if null s'' then [] else head [x|x<-[0..max_index], not (elem x s'')] : s'' else head s' : tail s where s' = [x|x<-[0..max_index],x>head s,not (elem x s)] remains s = (\x -> if null x then [] else x : remains x) (next' s)
最终用小写字母的全排列来演示一下
main = print $perm ['a'..'z'] 26
编译之后可运行,说明了Haskell的惰性计算,否则26个元素的全排列是不可能装的下去,更不可能瞬间计算出来。
Scheme或者其他语言的字典顺序排列可以读者自己实现。
组合的字典顺序
组合的字典顺序依旧问题在如何设计这个next函数。每个下标集合按升序的序列来表示。
那么也是从右往左来找下一个元素,
比如选择4个来组合
最开始,序号序列是,
....(过程中省略)
再来找的下一个
最右边的8无法找到下一个,倒数第二个的7也无法找到下一个,倒数第三个的4找到下一个为5,
最后两个再依次加1补全,得到结果为。
还是用Haskell来表示,其他地方都可一致,唯独next'的实现有一点区别:
comb::[a] -> Int -> [[a]] comb _ 0 = [[]] comb [] _ = [] comb s n = map (\x -> map (s!!) (reverse x)) (dict_seq_rev (length s - 1) n) where dict_seq_rev max_index n = s : remains s where s = reverse [0..n-1] next' s = if null s then [] else if head s < max_index - n + length s then head s + 1 : tail s else let s' = next' (tail s) in if null s' then [] else head s' + 1 : s' remains s = (\x -> if null x then [] else x : remains x) (next' s)
Scheme或者其他语言的字典顺序排列可以读者自己实现。
排列组合的应用
Python属于很常用的语言,用来做胶水再好不过,从而发展很迅猛,现在被当作是一种很“通俗”的编程语言。我时常会使用里面自带的itertools库。当然,其他语言也可以找到该有的库,没有的话也可以自己来造,以上递归的方式并非唯一,发挥想象可以继续挖掘,但要注意,先生成排列组合的整体再处理很多时候并不现实,因为需要大量的内存,而最终等价于遍历排列组合的每一个结果依次处理价值要大得多。
有了排列组合,某些题目可以暴力完成。比如这样一个题目,给出平面上一堆点,找出距离最近的2个点。
一个很自然的想法就是遍历所有的2点组合,然后找出距离最小的情况,Python代码如下:
import itertools as it import math def find_shortest_distance(points): def distance(p1, p2): s = (p2[0] - p1[0], p2[1] - p1[1]) return math.sqrt(s[0] ** 2 + s[1] ** 2) min_distance = None min_distance_two_points = None for two_points in it.combinations(points, 2): d = distance(*two_points) if min_distance is None or min_distance > d: min_distance = d min_distance_two_points = two_points return (min_distance_two_points, min_distance)
以上就是利用排列、组合做的暴力算法,很多时候这样的暴力算法都是一个选择,它意味着遍历所有可能,往往复杂度较大,所以根据数据规模量力而行。另外,以上寻找最短距离的一对点存在时间的算法,不过不在本篇讨论范围之内。
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