常微分复习重点

常微分复习重点

定理2.1 设函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在区域$R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta$上连续，且有连续的一阶偏导数$\frac{\partial P}{\partial y}$和$\frac{\partial Q}{\partial x}$，则微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$是恰当方程的充要条件为恒等式$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)$在$R$内成立，而且当$\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)\equiv \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)$成立时，方程

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的通积分为

$\int_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,y)dx+\int_{{{y}_{0}}}^{y}{Q({{x}_{0}},y)dy=C}}$或$\int_{{{x}_{0}}}^{x}{P(x,{{y}_{0}})dx+\int_{{{y}_{0}}}^{y}{Q(x,y)dy=C}}$

其中$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$是$R$内任意一点。

定理2.2 设已知里卡蒂方程$\frac{dy}{dx}=p(x){{y}^{2}}+q(x)y+r(x)$的一个特解$y={{\varphi }_{1}}(x)$，则可用积分法求得它的通解。

定理2.3 设里卡蒂方程$\frac{dy}{dx}+a{{y}^{2}}=b{{x}^{m}}$，其中$a\ne 0,b,m$都是常数，又设$x\ne 0$和$y\ne 0$，则当$m=0$时，此时可直接变量分离；

当$m=-2$时，作变换$z=xy$，又可变量分离；

当$m=-\frac{4k}{2k+1}$时，作变换$x={{\xi }^{\frac{1}{m+1}}},y=\frac{b}{m+1}{{\eta }^{-1}}$，又可变量分离；

当$m=-\frac{4k}{2k-1}$，也可变量分离。

定理2.4 微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$有一个只依赖于$x$的积分因子的充要条件为：表达式$\frac{1}{Q(x,y)}\left( \frac{\partial P(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial Q(x,y)}{\partial y} \right)$只依赖于$x$，而与$y$无关；而且若把表达式

$\frac{1}{Q(x,y)}\left( \frac{\partial P(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial Q(x,y)}{\partial y} \right)$记为$G(x)$，那由$u(x)={{e}^{\int{G(x)dx}}}$所示的函数是方程

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子。

定理2.5微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$有一个只依赖于$y$的积分因子的充要条件为：表达式$\frac{1}{P(x,y)}\left( \frac{\partial Q(x,y)}{\partial y}-\frac{\partial P(x,y)}{\partial x} \right)$只依赖于$y$，而与$x$无关；而且此时函数

$$u(y)={{e}^{\int{H(y)dy}}}$$ 是方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子。

定理2.6 若$u=u(x,y)$是方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子，使得

$uP(x,y)dx+uQ(x,y)dy=d\Phi (x,y)$，则$u(x,y)g(\Phi (x,y))$也是

$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的一个积分因子，其中$g(\cdot )$是任一可微的（非零）函数。

$$Lipschitz$$ 条件：设函数$f(x,y)$在区域$D$内满足不等式$\left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}}) \right|\le L\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|$

其中常数$L>0$，则称函数$f(x,y)$在区域$D$内对$y$满足$Lipschitz$条件。

最大存在区间：微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过${{P}_{0}}$的解$\Gamma$有如下表达式：$\Gamma :y=\varphi (x),x\in J$，那么$J$就表示$\Gamma$的最大存在区间

定理3.1 设初值问题$(E):\frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$，其中$f(x,y)$在矩形区域

$R:\left| x-{{x}_{0}} \right|\le a,\left| y-{{y}_{0}} \right|\le b$内连续，而且对$y$满足$Lipschitz$条件，则$E$在区间

$I=[{{x}_{0}}-h,{{x}_{0}}+h]$上有并且只有一个解，其中常数$h=\min \{a,\frac{b}{M}\},M>\underset{(x,y)\in R}{\mathop{\max }}\,\left| f(x,y) \right|$

$Osgood$条件：设函数$f(x,y)$在区域$G$内连续，而且满足不等式

$\left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}}) \right|\le F\left( \left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right| \right)$，其中$F(r)>0$是$r>0$的连续函数，而且瑕积分

$\int_{0}^{{{r}_{1}}}{\frac{dr}{F(r)}}=\infty$（${{r}_{1}}>0$为常数），则称$f(x,y)$在区域$G$内对$y$满足$Osgood$条件。同时，

$Lipschitz$条件是$Osgood$条件的特例，此处$F(r)=Lr$满足$Osgood$要求

定理3.2 设$f(x,y)$在区域$G$内对$y$满足$Osgood$条件，则微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$在$G$内经过每一点的解都是唯一的。

等度连续：设在区间$I$上给定一个函数序列：${{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x),\cdots ,{{f}_{n}}(x),\cdots$，如果对任意的正数$\varepsilon >0$，存在正数$\delta =\delta (\varepsilon )>0$，使得只要${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in I$和$\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|<\delta$时，就有

$\left| {{f}_{n}}({{x}_{1}})-{{f}_{n}}({{x}_{2}}) \right|<\varepsilon$，则称函数序列${{f}_{1}}(x),{{f}_{2}}(x),\cdots ,{{f}_{n}}(x),\cdots$在区间$I$上是等度连续的。

定理3.4 设${{P}_{0}}$为区域$G$内任一点，并设$\Gamma$为微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过${{P}_{0}}$的任一条积分曲线，则积分曲线$\Gamma$将在区域$G$内延伸到边界（换句话说，对于任何有界闭区域

${{G}_{1}}({{P}_{0}}\in {{G}_{1}}\subset G)$，积分曲线$\Gamma$将延伸到${{G}_{1}}$之外）

推论：设函数$f(x,y)$在区域$G$内连续，而且对$y$满足局部的$Lipschitz$条件【即对区域$G$内任一点$q$，存在以$q$点为中心的一个矩形区域$Q\subset G$，使得在$Q$内$f(x,y)$对$y$满足

$Lipschitz$条件（注意：相应的$Lipschitz$常数$L$与矩形区域$Q$有关）】，则微分方程

$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$经过$G$内任何一点${{P}_{0}}$存在唯一的积分曲线$\Gamma$，并且$\Gamma$在$G$内可以延伸到边界。

定理3.5 设微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$，其中$f(x,y)$在条形区域$S:\alpha <x<\beta ,-\infty <y<+\infty$内连续，而且满足不等式$\left| f(x,y) \right|\le A(x)\left| y \right|+B(x)$，其中$A(x)\ge 0$和$B(x)\ge 0$在区间

$\alpha <x<\beta$内连续，则微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$的每一个解都以$\alpha <x<\beta$为最大存在区间

定理4.1 设函数$F(x,y,p)$对$(x,y,p)\in G$是连续的，而且对$y$和$p$有连续的偏微商$F_{y}^{'}$和$F_{p}^{'}$，若函数$y=\varphi (x),x\in J$是微分方程$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$的一个奇解，并且

$(x,\varphi (x),\varphi '(x))\in G,x\in J$，则奇解$y=\varphi (x)$满足一个称之为$p-$判别式的联立方程

$F(x,y,p)=0,F_{p}^{'}(x,y,p)=0,p=\frac{dy}{dx}$，则称由此决定的曲线为方程$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$的$p-$判别式。

定理4.2 设函数$F(x,y,p)$对$(x,y,p)\in G$是二阶连续可微的，又设由微分方程

$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$的$p-$判别式$F(x,y,p)=0,F_{p}^{'}(x,y,p)=0,p=\frac{dy}{dx}$消去$p$后得到的函数$y=\varphi (x),x\in J$是微分方程$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$的解，而且设条件

$F_{y}^{'}(x,\varphi (x),\varphi '(x))\ne 0,F_{pp}^{''}(x,\varphi (x),\varphi '(x))\ne 0$以及$F_{p}^{'}(x,\varphi (x),\varphi '(x))=0$对$x\in J$成立，则

$y=\varphi (x)$是方程的奇解。

包络：设在平面上有一条连续可微的曲线$\Gamma$，如果对于任一点$q\in \Gamma$，在曲线族$K(C):$

$V(x,y,C)=0$中都有一条曲线$K({{C}^{*}})$通过$q$点并在该点与$\Gamma$相切，而且$K({{C}^{*}})$中$q$点的某一邻域内不同于$\Gamma$，则称曲线$\Gamma$为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络。

定理4.3 设微分方程$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$有通积分为$U(x,y,C)=0$，又设积分曲线族$K(C):$

$V(x,y,C)=0$中有包络为$\Gamma :$$y=\varphi (x),x\in J$，则包络$y=\varphi (x)$是微分方程

$F(x,y,\frac{dy}{dx})=0$的奇解。

定理4.4 设$\Gamma$为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络，则它满足如下的$C-$判别式：

$V(x,y,C)=0,V_{C}^{'}(x,y,C)=0$；或消去$C$所得的关系式为$\Omega (x,y)=0$

定理4.5 设由曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的$C-$判别式$V(x,y,C)=0,V_{C}^{'}(x,y,C)=0$确定一支连续可微且不含于族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的曲线$\Lambda :x=\varphi (C),y=\psi (C)$，

$C\in J$，而且它满足非蜕化性条件$(\varphi '(C),\psi '(C))\ne (0,0),(V_{x}^{'},V_{y}^{'})\ne (0,0)$，其中

$V_{x}^{'}=V_{x}^{'}(\varphi (C),\psi (C),C)$与$V_{y}^{'}=V_{y}^{'}(\varphi (C),\psi (C),C)$，则$\Lambda$为曲线族$K(C):$$V(x,y,C)=0$的一支包络。

定理5.1 设$n$维向量值函数$f(x,y,\lambda )$在区域$G:\left| x \right|\le a,\left| y \right|\le b,\left| \lambda -{{\lambda }_{0}} \right|\le c$上是连续的，而且对$y$满足$Lipschitz$条件：$\left| f(x,{{y}_{1}},\lambda )-f(x,{{y}_{2}},\lambda ) \right|\le L\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|$。其中常数$L\ge 0$，令正数$M$为$\left| f(x,y,\lambda ) \right|$的区域$G$的一个上界，而且令$h=\min \{a,\frac{b}{M}\}$，则初值问题

$({{E}_{\lambda }}):\frac{dy}{dx}=f(x,y,\lambda )$的解$y=\varphi (x,\lambda )$在区域$D:\left| x \right|\le h,\left| \lambda -{{\lambda }_{0}} \right|\le c$上是连续的。

推论：设$n$维向量值函数$f(x,y)$在区域$R:\left| x-{{x}_{0}} \right|\le a,\left| y-{{y}_{0}} \right|\le b$上连续，而且对$y$满足

$Lipschitz$条件，则微分方程初值问题$\frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})=\eta$的解$y=\varphi (x,\eta )$在区域

$Q:\left| x-{{x}_{0}} \right|\le \frac{h}{2},\left| \eta -{{y}_{0}} \right|\le \frac{b}{2}$上是连续的，其中$h=\min \{a,\frac{b}{M}\}$，而正数$M$为$\left| f(x,y) \right|$在区域$R$上的一个上界。

（$n$维向量形式微分方程的$Picard$存在和唯一性定理）

设初值问题$\left\{\begin{array}{ll} \frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) \\ y({x_0}) = {y_0} \end{array} \right.$，其中$f(x,y)$在区域$R:\left| x-{{x}_{0}} \right|\le a,\left| y-{{y}_{0}} \right|\le b$内连续，且对$y$满足$Lipschitz$条件：存在$L>0$，对任意的$(x,{{y}_{1}}),(x,{{y}_{2}})\in R$，有

$\left| f(x,{{y}_{1}})-f(x,{{y}_{2}}) \right|\le L\left| {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right|$，则$\left\{\begin{array}{ll} \frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) \\ y({x_0}) = {y_0} \end{array} \right.$在区间$[{{x}_{0}}-h,{{x}_{0}}+h]$上有并且只有一个解，其中常数$M=\underset{(x,y)\in R}{\mathop{\max }}\,\left| f(x,y) \right|$，$h=\min \{a,\frac{b}{M}\}$

（线性微分方程组的存在和唯一性定理）

设$A(x)={{({{a}_{ij}}(x))}_{n\times n}}$，$e(x)$在区间$a<x<b$上是连续的，则初值问题

$\left\{\begin{array}{ll} \frac{{dy}}{{dx}} = A(x)y + e(x) \\ y({x_0}) = {y_0} \end{array} \right.$$(a < {x_0} < b)$的解$y=y(x)$在区间$a<x<b$上存在且唯一。

定理5.2 设$n$维向量值函数$f(x,y)$在$(x,y)$空间内的某个开区域$G$上是连续的，而且对$y$满足局部$Lipschitz$条件，假设$y=\xi (x)$是微分方程$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$的一个解，令它的存在区间为$J$，在区间$J$内任取一个有界闭区间$a\le x\le b$，则存在常数$\delta >0$，使得对任何初值

$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$，$a\le {{x}_{0}}\le b,\left| {{y}_{0}}-\xi ({{x}_{0}}) \right|\le \delta$，柯西问题$(E):\frac{dy}{dx}=f(x,y),y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解

$y=\varphi (x;{{x}_{0}},{{y}_{0}})$也至少在区间$a\le x\le b$上存在，并且它在闭区域

${{D}_{\delta }}:a\le x\le b,a\le {{x}_{0}}\le b,\left| {{y}_{0}}-\xi ({{x}_{0}}) \right|\le \delta$上是连续的。

存在和唯一性定理：线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$满足初值条件：$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解

$y=y(x)$在区间$a<x<b$上是存在和唯一的，其中初值${{x}_{0}}\in (a,b)$和${{y}_{0}}\in {{R}^{n}}$是任意给定的。

引理6.1 设$y={{y}_{1}}(x)$和$y={{y}_{2}}(x)$时齐次线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的解，则它们的线性组合$y={{C}_{1}}{{y}_{1}}(x)+{{C}_{2}}{{y}_{2}}(x)$也是方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的解，其中${{C}_{1}}$和${{C}_{2}}$是（实的）任意常数。

引理6.2 线性空间$S$是$n$维的（这里$n$是微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的阶数）

定理6.1 齐次线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$在区间$a<x<b$上有$n$个线性无关的解

${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$而且它的通解为$y={{C}_{1}}{{\varphi }_{1}}(x)+\cdots +{{C}_{n}}{{\varphi }_{n}}(x)$，其中${{C}_{1}},\cdots ,{{C}_{n}}$是任意常数。

朗斯基行列式（$Wronsky$）$W(x) = \left|\begin{array}{cccc} {{y_{11}}(x)} & {{y_{12}}(x)} & \cdots & {{y_{1n}}(x)} \\ {{y_{21}}(x)} & {{y_{22}}(x)} & \cdots & {{y_{2n}}(x)} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{y_{n1}}(x)} & {{y_{n2}}(x)} & \cdots & {{y_{nn}}(x)} \end{array}\right|$

引理6.3 上述朗斯基$Wronsky$行列式满足下面的刘维尔$Liouville$公式：

$W(x)=W({{x}_{0}}){{e}^{\int_{{{x}_{0}}}^{x}{tr[A(x)]dx}}}$ $(a<x<b)$

其中${{x}_{0}}\in (a,b)$，而$tr[A(x)]$表示矩阵$A(x)$的迹，即$tr[A(x)]=\sum\limits_{j=1}^{n}{{{a}_{jj}}}(x)$

定理6.3 线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的解组${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$是线性无关的充要条件为

$W(x)\ne 0,a<x<b$

推论6.1 解组${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$是线性相关的充要条件为$W(x)\equiv 0,a<x<b$

推论6.2

（1）设$\Phi (x)$是方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的基解矩阵，则对于任一个非奇异的$n$阶常数矩阵$C$，矩阵$\psi (x)=\Phi (x)C$也是$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵。

（2）设$\Phi (x)$和$\psi (x)$都是方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的基解矩阵，则必存在一个非奇异的$n$阶常数矩阵$C$，使得$\psi (x)=\Phi (x)C$成立

引理6.4 如果$\Phi (x)$是与$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$相应的齐次线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，${{\varphi }^{*}}(x)$是$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的一个特解，则$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的任一解

$y=\varphi (x)$可以表示为$\varphi (x)=\Phi (x)C+{{\varphi }^{*}}(x)$，其中$C$是一个与$\varphi (x)$有关的常数列向量。

引理6.5 设$\Phi (x)$是$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，则${{\varphi }^{*}}(x)=\Phi (x)\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{\Phi }^{-1}}(s)f(s)ds}$是非齐次线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$的一个特解。

定理6.3 设$\Phi (x)$是$\frac{dy}{dx}=A(x)y$的一个基解矩阵，则非齐次线性微分方程组

$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$在区间$a<x<b$上的通解可以表示为

$y=\Phi (x)\left( C+\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{\Phi }^{-1}}(s)f(s)ds} \right)$

其中$C$是$n$维的任意常数列向量；而且$\frac{dy}{dx}=A(x)y+f(x)$满足初值条件$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解为：

$y=\Phi (x){{\Phi }^{-1}}({{x}_{0}}){{y}_{0}}+\Phi (x)\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{\Phi }^{-1}}(s)f(s)ds}$

其中${{x}_{0}}\in (a,b)$

命题1 矩阵$A$的幂级数$E+A+\frac{1}{2!}{{A}^{2}}+\cdots +\frac{1}{k!}{{A}^{k}}+\cdots$是绝对收敛的。

命题2 矩阵指数函数有下面的性质：

（1）若矩阵$A$和$B$是可交换的（即$AB=BA$），则${{e}^{A+B}}={{e}^{A}}{{e}^{B}}$；

（2）对任何矩阵$A$，指数矩阵${{e}^{A}}$是可逆的，且${{({{e}^{A}})}^{-1}}={{e}^{-A}}$；

（3）若是一个非奇异的阶矩阵，则

推论6.3 常系数非齐次线性微分方程组在区间上的通解为：

x$y={{e}^{xA}}C+\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{e}^{(x-s)A}}f(s)ds}$，其中$C$一任意的常数列向量；而$\frac{dy}{dx}=Ay+f(x)$满足初始条件$y({{x}_{0}})={{y}_{0}}$的解为：$y={{e}^{(x-{{x}_{0}})A}}{{y}_{0}}+\int_{{{x}_{0}}}^{x}{{{e}^{(x-s)A}}f(s)ds}$，其中${{x}_{0}}\in (a,b)$

引理6.6 微分方程组$\frac{dy}{dx}=Ay$有非零解$y={{e}^{\lambda x}}r$，当且仅当$\lambda$为矩阵$A$的特征根，而$r$是与$\lambda$相对应的特征向量。

定理6.5 设$n$阶矩阵$A$有$n$个互不相同的特征根${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},\cdots ,{{\lambda }_{n}}$，则矩阵函数

$\Phi (x)=({{e}^{{{\lambda }_{1}}x}}{{r}_{1}},\cdots ,{{e}^{{{\lambda }_{n}}x}}{{r}_{n}})$是$\frac{dy}{dx}=Ay$的一个基解矩阵，其中${{r}_{i}}$是$A$的与${{\lambda }_{i}}$对应的特征向量。

定理6.5$^{*}$ 设${{r}_{1}},\cdots ,{{r}_{n}}$是矩阵$A$的$n$个线性无关的特征向量，则矩阵函数

$\Phi (x)=({{e}^{{{\lambda }_{1}}x}}{{r}_{1}},\cdots ,{{e}^{{{\lambda }_{n}}x}}{{r}_{n}})$是方程组$\frac{dy}{dx}=Ay$的一个基解矩阵，其中${{\lambda }_{1}},\cdots ,{{\lambda }_{n}}$是矩阵$A$的与

${{r}_{1}},\cdots ,{{r}_{n}}$相应的特征根，它们不必互不相同。

引理6.7 设${{\lambda }_{i}}$是矩阵$A$的${{n}_{i}}$重特征根，则$\frac{dy}{dx}=Ay$有形如

$y={{e}^{{{\lambda }_{i}}x}}({{r}_{0}}+\frac{x}{1!}{{r}_{1}}+\frac{{{x}^{2}}}{2!}{{r}_{2}}\cdots +\frac{{{x}^{{{n}_{i}}-1}}}{({{n}_{i}}-1)!}{{r}_{{{n}_{i}}-1}})$

的非零解的充要条件为：${{r}_{0}}$是齐次线性代数方程组${{(A-{{\lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0$的一个非零解，而且上式中的${{r}_{1}},\cdots ,{{r}_{n}}$是由下面的关系式逐次确定的$\left\{\begin{array}{ll} {r_1} = (A - {\lambda _i}E){r_0} \\ {r_2} = (A - {\lambda _i}E){r_1} \\ \cdots \cdots \\ {r_{{n_i} - 1}} = (A - {\lambda _i}E){r_{{n_i} - 2}} \end{array} \right.$

命题4 设矩阵$A$的互不相同的特征根为${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},\cdots ,{{\lambda }_{s}}$，它们的重数分别是${{n}_{1}},{{n}_{2}},\cdots ,{{n}_{s}}$

（${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\cdots +{{n}_{s}}=n$）；记$n$维常数列向量所组成的线性空间为$V$，则

（1）$V$的子集合${{V}_{i}}=\{r\in V|{{(A-{{\lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0\}$是矩阵$A$的${{n}_{i}}$$(i=1,2,\cdots n)$维不变子空间；

（2）$V$有直和分解$V={{V}_{1}}\oplus {{V}_{2}}\oplus \cdots \oplus {{V}_{s}}$

定理6.6 设$n$阶实值常数矩阵$A$在复数域中互不相同的特征值是${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},\cdots ,{{\lambda }_{s}}$，而且对应的重数分别是${{n}_{1}},{{n}_{2}},\cdots ,{{n}_{s}}$（${{n}_{1}}+{{n}_{2}}+\cdots +{{n}_{s}}=n$），则常系数齐次线性微分方程组$\frac{dy}{dx}=Ay$有基解矩阵$\Phi (x)$为 $$\left( {{e}^{{{\lambda }_{1}}x}}P_{1}^{(1)}(x),\cdots ,{{e}^{{{\lambda }_{1}}x}}P_{{{n}_{1}}}^{(1)}(x);\cdots ;{{e}^{{{\lambda }_{s}}x}}P_{1}^{(s)}(x),\cdots ,{{e}^{{{\lambda }_{s}}x}}P_{{{n}_{s}}}^{(s)}(x) \right)$$ ，其中

$P_{j}^{(i)}(x)=r_{j0}^{i}+\frac{x}{1!}r_{j1}^{i}+\frac{{{x}^{2}}}{2!}r_{j2}^{i}+\cdots +\frac{{{x}^{{{n}_{i}}-1}}}{({{n}_{i}}-1)!}r_{j{{n}_{i}}-1}^{i}$是与${{\lambda }_{i}}$相应的第$j$个向量多项式

$(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,{{n}_{i}})$，而$r_{10}^{i},\cdots ,r_{{{n}_{i}}0}^{i}$是齐次线性代数方程组${{(A-{{\lambda }_{i}}E)}^{{{n}_{i}}}}r=0$的

${{n}_{i}}$的线性无关的解，且$r_{jk}^{i}(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,{{n}_{i}};k=1,2,\cdots ,{{n}_{i}}-1)$是把$r_{j0}^{i}$代替

$\left\{\begin{array}{ll} {r_1} = (A - {\lambda _i}E){r_0} \\ {r_2} = (A - {\lambda _i}E){r_1} \\ \cdots \cdots \\ {r_{{n_i} - 1}} = (A - {\lambda _i}E){r_{{n_i} - 2}} \end{array} \right.$中的 而依次得出的 。

命题5 方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+\cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$的解组${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$是线性无关（相关）的，当且仅当由它们作出的向量函数组$\left(\begin{array}{cccc} {\varphi _1}(x) \\ \varphi _1^'(x) \\ \vdots \\ \varphi _1^{(n - 1)}(x) \end{array}\right)$,$\left(\begin{array}{cccc} {\varphi _2}(x) \\ \varphi _2^'(x) \\ \vdots \\ \varphi _2^{(n - 1)}(x) \end{array}\right)$,$\vdots$,$\left(\begin{array}{cccc} {\varphi _n}(x) \\ \varphi _n^'(x) \\ \vdots \\ \varphi _n^{(n - 1)}(x) \end{array}\right)$

（它是方程组$\frac{dy}{dx}=Ay$的解组）在$a<x<b$上是线性无关（相关）的

命题6.1$^{*}$ 齐次线性微分方程组${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+\cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$在区间

$a<x<b$上存在$n$个线性无关的解，如果这$n$个线性无关的解为${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$，则方程的通解为$y={{C}_{1}}{{\varphi }_{1}}(x)+\cdots +{{C}_{n}}{{\varphi }_{n}}(x)$，其中${{C}_{1}},\cdots ,{{C}_{n}}$为任意常数。

命题6.2$^{*}$ 方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+\cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=0$的解组${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$是线性无关的充要条件为它的$Wronsky$行列式$W(x)=\left|\begin{array}{cccc} {{\varphi _1}(x)} & {{\varphi _2}(x)} & \cdots & {{\varphi _n}(x)} \\ {\varphi _1^'(x)} & {\varphi _2^'(x)} & \cdots & {\varphi _n^'(x)} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\varphi _1^{(n - 1)}(x)} & {\varphi _2^{(n - 1)}(x)} & \cdots & {\varphi _n^{(n - 1)}(x)} \end{array}\right|$在区间$a<x<b$上恒不为0（而且它在某一点${{x}_{0}}\in (a,b)$的值$W({{x}_{0}})\ne 0$）

定理6.3$^{*}$ 设${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$是齐次线性微分方程组（如上）在区间$a<x<b$上的一个基本解组，则${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}(x){{y}^{(n-1)}}+\cdots +{{a}_{n-1}}(x)y'+{{a}_{n}}(x)y=f(x)$的通解为

$y={{C}_{1}}{{\varphi }_{1}}(x)+\cdots +{{C}_{n}}{{\varphi }_{n}}(x)+{{\varphi }^{*}}(x)$，其中${{C}_{1}},\cdots ,{{C}_{n}}$为任意常数，而

${{\varphi }^{*}}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\varphi }_{k}}(x)\cdot \int_{{{x}_{0}}}^{x}{\frac{{{W}_{k}}(s)}{W(s)}f(s)ds}}$是非齐次方程的一个特解，这里$W(x)$是

${{\varphi }_{1}}(x),\cdots ,{{\varphi }_{n}}(x)$的$Wronsky$行列式，而${{W}_{k}}(x)$是第$n$行第$k$列元素的代数余子式（亦即，以$(0,0,\cdots ,0,1)$的转置替换$W(x)$中的第$k$列后所得到的行列式）

定理6.6$^{*}$ 设常系数齐次线性微分方程${{y}^{(n)}}+{{a}_{1}}{{y}^{(n-1)}}+\cdots +{{a}_{n-1}}y'+{{a}_{n}}y=0$的特征方程在复数域中共有$s$个互不相同的根${{\lambda }_{1}},\cdots ,{{\lambda }_{s}}$，而且对应的重数分别是$\left\{\begin{array}{ll} {e^{{\lambda _1}x}},x{e^{{\lambda _1}x}}, \cdots ,{x^{{n_1} - 1}}{e^{{\lambda _1}x}} \\ \cdots \cdots \\ {e^{{\lambda _s}x}},x{e^{{\lambda _s}x}}, \cdots ,{x^{{n_s} - 1}}{e^{{\lambda _s}x}} \end{array} \right.$是微分方程的一个基本解组。

平衡点（奇点）：已知一个质点$M$在时刻$t$的空间坐标为$x=({{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}})$，并且已知它在$x$点的运动速度为$v(x)=({{v}_{1}}(x),\cdots ,{{v}_{n}}(x))$，它只与空间坐标$x$有关，质点$M$的运动方程为$\frac{dx}{dt}=v(x)$，它是一个自治微分方程，若$v({{x}_{0}})=0$，则方程有一个定解$x={{x}_{0}}$，它是一条退化的轨线，称之为平衡点，也称为奇点，此时的微分方程为一个动力系统；

动力系统的性质：

（1）积分曲线的平移不变性：既动力系统的积分曲线在增广相空间中沿$t$轴任意平移后还是该动力系统的积分曲线；

（2）过相空间每一点轨线的唯一性：即过相空间的任一点，该动力系统存在唯一的轨线通过此点。

（3）群的性质：该动力系统的解$\varphi (t,{{x}_{0}})$满足关系式：$\varphi ({{t}_{2}},\varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}}))=\varphi ({{t}_{1}}+{{t}_{2}},{{x}_{0}})$

此式的含义是：在相空间中，如果从${{x}_{0}}$出发的运动沿轨线经过时刻${{t}_{1}}$到达$\varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}})$，再经过时间${{t}_{2}}$到达${{x}_{2}}=\varphi ({{t}_{2}},\varphi ({{t}_{1}},{{x}_{0}}))$，那么从${{x}_{0}}$出发的运动沿轨线经过时间${{t}_{1}}+{{t}_{2}}$也到达${{x}_{2}}$

（李雅普诺夫$Lyapunov$）稳定：对一般方程$\frac{dx}{dt}=f(t,x)$，其中函数$f(t,x)$对$x\in G\subset {{R}^{n}}$和$t\in (-\infty ,+\infty )$连续，并对$x$满足$Lipschitz$条件，设方程有一个解$x=\varphi (t)$在${{t}_{0}}\le t<+\infty$有定义，如果对任意给定的$\varepsilon >0$，都存在$\delta =\delta (\varepsilon )>0$，使得只要$\left| {{x}_{0}}-\varphi ({{t}_{0}}) \right|<\delta$，方程以

$x({{t}_{0}})={{x}_{0}}$为初值的解$x(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})$就也在$t\ge {{t}_{0}}$上有定义，并且满足$\left| x(t,{{t}_{0}},{{x}_{0}})-\varphi (t) \right|<\varepsilon$，$t\ge {{t}_{0}}$，则称方程的解$x=\varphi (t)$是（$Lyapunov$意义下）稳定的

（$Lyapunov$）渐进稳定：若$x=\varphi (t)$是稳定的，而且存在${{\delta }_{1}}(0<{{\delta }_{1}}\le \delta )$，使得只要

$\left| {{x}_{0}}-\varphi ({{x}_{0}}) \right|<{{\delta }_{1}}$，就有$\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x(t,{{x}_{0}},{{t}_{0}})-\varphi (t))=0$，则称解$x=\varphi (t)$时$Lyapunov$意义下渐进稳定的。

定理8.1 设线性方程$\frac{dx}{dt}=A(t)x$中的矩阵$A(t)$为常矩阵，则

（1）零解是渐近稳定的，当且仅当矩阵$A$的全部特征值都是负的实部；

（2）零解是稳定的，当且仅当矩阵$A$的全部特征值的实部是非正的，那些实部为0的特征值所对应的$Jordan$块都是一阶的；

（3）零解是不稳定的，当且仅当矩阵$A$的特征根中至少有一个实部为正；或者至少有一个实部为0，且它所对应的$Jordan$块是高于一阶的。

定理8.2 设方程$\frac{dx}{dt}=A(t)x+N(t,x)$中的$A(t)\equiv A$为常矩阵，而且$A$的全部特征值都具有负的实部，则方程的零解是渐进稳定的

定理8.3 设方程$\frac{dx}{dt}=A(t)x+N(t,x)$中的$A(t)\equiv A$为常矩阵，而且$A$的特征值至少有一个具有正的实部，则方程的零解是不稳定的

定理8.4 $Lyapunov$的稳定性判据：

（1）若方程为$\frac{dx}{dt}=f(x)$，满足

条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x\ne 0$。（称$V$为定正函数）

条件（II）$\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+\cdots +\frac{\partial V}{\partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}<0$，当$x\ne 0$（即$\frac{dV}{dt}$为定负函数）

则方程的零解是渐进稳定的；

（2）若满足

条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x\ne 0$。（称$V$为定正函数）

条件（II$^{*}$）$\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+\cdots +\frac{\partial V}{\partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}\le 0$，当$x\ne 0$（即$\frac{dV}{dt}$为常负函数）

则方程的零解是稳定的；

（3）若满足

条件（I）$V(0)=0,V(x)>0$，当$x\ne 0$。（称$V$为定正函数）

条件（III）$\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial {{x}_{1}}}{{f}_{1}}+\cdots +\frac{\partial V}{\partial {{x}_{n}}}{{f}_{n}}>0$，当$x\ne 0$（即$\frac{dV}{dt}$为定正函数）

则方程的零解是不稳定的。

初等奇点：以$(0,0)$为奇点的线性系统$\frac{d}{{dt}}\left(\begin{array}{cccc} x \\ y  \end{array}\right)$$=A\left(\begin{array}{cccc} x \\ y  \end{array}\right)$,其中$A=\left(\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d  \end{array}\right)$为常矩阵，当矩阵$A$非退化（即$A$不以$0$为特征根）时，称$(0,0)$为系统的初等奇点，否则成为高阶奇点。初等奇点都是孤立奇点，而线性高阶奇点都是非孤立的。

平面上的若尔当定理：平面上的简单闭曲线$\gamma$把平面分成两部分，连接这两部分中任一点的连续路径必定与$\gamma$相交。

（非常重要）

$A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 0 \\ 0 & \mu  \end{array}\right)$$(\lambda \mu \ne 0)$

星形结点（临界结点）：直线

（1）$\lambda =u$，$\lambda <0$时，$t\to +\infty$时$(x(t),y(t))\to (0,0)$，此时奇点$(0,0)$是渐进稳定的；或$\lambda >0$时，相反，此时奇点$(0,0)$是不稳定的。

 

两向结点（结点）：抛物线：

（2）$\lambda \ne \mu$且$\lambda \mu >0$，当$\left| \frac{\mu }{\lambda } \right|>1$时，与$x$轴相切；当$\left| \frac{\mu }{\lambda } \right|<1$时，与$y$轴相切：

 

鞍点：双曲线

（3）$\lambda \mu <0$

 

单向结点（退化结点）

（4）$A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda  \end{array}\right)$$(\lambda \ne 0)$，解为$y=Cx+\frac{x}{\lambda }\ln \left| x \right|$

 

稳定焦点（渐进稳定）、不稳定焦点、中心点（稳定）：通解为：$r=C{{e}^{\frac{\alpha }{\beta }\theta }}$

 

定理8.5（初等奇点类型的判定）对于系统$\frac{d}{{dt}}\left(\begin{array}{cccc} x \\ y  \end{array}\right)$$=A\left(\begin{array}{cccc} x \\ y  \end{array}\right)$,其中$A=\left(\begin{array}{cccc} a & b \\ c & d  \end{array}\right)$为常矩阵，记$p=-tr[A]=-(a+d)$和$q=\left| A \right|=ad-bc$，则我们有：

（1）当$q<0$时，$(0,0)$为鞍点；

（2）当$q>0$且${{p}^{2}}>4q$时，$(0,0)$为两向结点；

（3）当$q>0$且${{p}^{2}}=4q$时，$(0,0)$为单向结点或星形结点；

（4）当$q>0$且$0<{{p}^{2}}<4q$时，$(0,0)$为焦点；

（5）当$q>0$且$p=0$时，$(0,0)$为中心点

此外，在情形$(2)\sim (4)$中，当$p>0$时奇点$(0,0)$是稳定的，而当$p<0$时则是不稳定的。