重要定理及其证明

重要定理及其证明

一、数列收敛的$Cauchy$收敛准则

数列$\{{{a}_{n}}\}$的充要条件是：对任意的$\varepsilon >0$，存在$N\in {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有

$\left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} \right|<\varepsilon$

证明：

必要性：设$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=A$

于是任意的$\varepsilon >0$，存在$N\in {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有$\left| {{a}_{m}}-A \right|<\frac{\varepsilon }{2},\left| {{a}_{n}}-A \right|<\frac{\varepsilon }{2}$

于是$\left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} \right|<\left| {{a}_{m}}-A \right|+\left| {{a}_{n}}-A \right|<\varepsilon$

充分性：先证明$\{{{a}_{n}}\}$有界

由题可知：存在${{\varepsilon }_{0}}=1$，存在${{N}_{0}}\in {{N}^{+}}$，当$n>{{N}_{0}}$时，有$\left| {{x}_{n}}-{{x}_{{{N}_{0}}+1}} \right|<1$

令$M=\max \{\left| {{x}_{1}} \right|,\left| {{x}_{2}} \right|,\cdots ,\left| {{x}_{{{N}_{0}}}} \right|,\left| {{x}_{{{N}_{0}}+1}} \right|+1$

于是对一切$n\in N$，有$\left| {{a}_{n}} \right|\le M$

由致密性定理，在$\{{{x}_{n}}\}$中必有收敛子列：$\underset{k\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{{{n}_{k}}}}=\xi$

有条件，对任意的$\varepsilon >0$，存在$N\in {{N}^{+}}$，当$m,n>N$时，有$\left| {{a}_{m}}-{{a}_{n}} \right|<\varepsilon$

令${{a}_{m}}={{a}_{{{n}_{k}}}}$，其中$k$充分大，满足${{n}_{k}}>N$，并且令$k\to +\infty$，于是得到$\left| {{a}_{n}}-\xi  \right|\le \frac{\varepsilon }{2}<\varepsilon$

即数列$\{{{a}_{n}}\}$收敛

二、归结原则

设$f$在${{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$上有定义，$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$存在的充要条件是：对任何含于${{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$且以${{x}_{0}}$为极限的数列$\{{{x}_{n}}\}$，极限$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})$都存在且相等

证明：

必要性：设$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$

则则任给$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，其中$\delta <\delta '$，当$0<\left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta$时，$\left| f(x)-A \right|<\varepsilon$

另一方面，设数列$\{{{x}_{n}}\}\subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$且$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$

则对上述$\delta >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时，有$0<\left| {{x}_{n}}-{{x}_{0}} \right|<\delta$

从而有$\left| f({{x}_{n}})-A \right|<\varepsilon$

即$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})=A$

充分性：设对任何数列$\{{{x}_{n}}\}\subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$且$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，有$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})=A$

反证法：若$x\to {{x}_{0}}$时$f(x)$不以$A$为极限

则存在${{\varepsilon }_{0}}>0$，对任何$\delta >0$，存在$x$，当$\left| x-{{x}_{0}} \right|<\delta$时，$\left| f(x)-A \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}$

现依次取$\delta =\delta ',\frac{\delta '}{2},\cdots ,\frac{\delta '}{n},\cdots$，则存在相应的点${{x}_{1}},{{x}_{2}},\cdots ,{{x}_{n}},\cdots$，使得

$0<\left| {{x}_{n}}-{{x}_{0}} \right|<\frac{\delta '}{n}$但$\left| f({{x}_{n}})-A \right|\ge {{\varepsilon }_{0}},n=1,2,\cdots$

显然数列$\{{{x}_{n}}\}\subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$且$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，但$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})\ne A$矛盾

于是必有$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$

三、函数收敛的$Cauchy$准则

设函数$f$在${{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta ')$上有定义，$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$存在的充要条件是：任给$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，其中$\delta <\delta '$，使得对任何${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$，有$\left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) \right|<\varepsilon$

证明：

必要性：设$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$

则任给$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，其中$\delta <\delta '$，使得对任何$x',x''\in {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$，有

$\left| f({{x}_{1}})-A \right|<\frac{\varepsilon }{2},\left| f({{x}_{2}})-A \right|<\frac{\varepsilon }{2}$

于是$\left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) \right|\le \left| f({{x}_{1}})-A \right|+\left| f({{x}_{2}})-A \right|<\varepsilon$

充分性：设数列$\{{{x}_{n}}\}\subset {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$且$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$

按假设，任给$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，其中$\delta <\delta '$，使得对任何${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$，有

$\left| f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}}) \right|<\varepsilon$

由于$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}={{x}_{0}}$，则对上述$\delta >0$，存在$N>0$，使得当$n>N$时，有${{x}_{n}},{{x}_{m}}\in {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$

从而$\left| f({{x}_{m}})-f({{x}_{n}}) \right|<\varepsilon$

于是按照数列的$Cauchy$收敛准则，$\{f({{x}_{n}})\}$的极限存在，记为$A$，即$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f({{x}_{n}})=A$

对任意的$x\in {{U}^{0}}({{x}_{0}};\delta )$，当$n>N$时，有$\left| f(x)-f({{x}_{n}}) \right|<\varepsilon$

令$n\to +\infty$，则$\left| f(x)-A \right|\le \varepsilon$

于是$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$

四、一致收敛

函数$f(x)$定义在区间$I$上，试证$f(x)$在$I$上一致收敛的充要条件为：对任何数列

$$\{x_{n}^{'}\},\{x_{n}^{''}\}\subset I$$ ，若$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，则$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$

证明：

必要性：若函数在$I$上一致收敛

则对任意的$\varepsilon >0$，存在$\delta >0$，对任意的$x',x''\in I,\left| x'-x'' \right|<\delta$，有$\left| f(x')-f(x'') \right|<\varepsilon$

设$I$上两个数列 $$\{x_{n}^{'}\},\{x_{n}^{''}\}$$ ，满足$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$

则对上述$\delta >0$，存在$N>0$，当$n>N$时，$\left| x_{n}^{'}-x_{n}^{''} \right|<\delta$

于是$\left| f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''}) \right|<\varepsilon$

即$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$

充分性：对任何数列 $$\{x_{n}^{'}\},\{x_{n}^{''}\}\subset I$$ ，若$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，则$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]=0$

下证$f(x)$在$I$上一致收敛

采用反证法：设$f(x)$在$I$上不一致收敛，则

存在${{\varepsilon }_{0}}>0$，对任意的$\delta >0$，满足$\left| x'-x'' \right|<\delta$，但是$\left| f(x')-f(x'') \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}$

取${{\delta }_{1}}=1$，存在$x_{1}^{'},x_{1}^{''}\in I,\left| x_{1}^{'}-x_{1}^{''} \right|<1$，有$\left| f(x_{1}^{'})-f(x_{1}^{''}) \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}$

取${{\delta }_{2}}=\frac{1}{2}$，存在$x_{2}^{'},x_{2}^{''}\in I,\left| x_{2}^{'}-x_{2}^{''} \right|<\frac{1}{2}$，有$\left| f(x_{2}^{'})-f(x_{2}^{''}) \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}$

$\vdots$

取${{\delta }_{n}}=\frac{1}{n}$，存在$x_{n}^{'},x_{n}^{''}\in I,\left| x_{n}^{'}-x_{n}^{''} \right|<\frac{1}{n}$，有$\left| f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''}) \right|\ge {{\varepsilon }_{0}}$

$\vdots$

于是$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x_{n}^{'}-x_{n}^{''})=0$，但$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x_{n}^{'})-f(x_{n}^{''})]\ne 0$矛盾

于是$f(x)$在$I$上一致收敛

 

五、函数列一致收敛的$Cauchy$准则

函数列$\{{{f}_{n}}\}$在数集$D$上一致收敛的充要条件是：对任意的$\varepsilon >0$，总存在$N\in {{N}^{+}}$，使得当

$m,n>N$时，都有$\left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) \right|<\varepsilon$

证明：

必要性：设${{f}_{n}}(x)\overrightarrow{\to }f(x)(n\to +\infty )$，$x\in D$

即对任意的$\varepsilon >0$，总存在$N\in {{N}^{+}}$，使得当$n>N$时，都有$\left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|<\varepsilon$

于是当$m,n>N$时，都有$\left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) \right|\le \left| {{f}_{m}}(x)-f(x) \right|+\left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|<\varepsilon$

充分性：若对任意的$\varepsilon >0$，总存在$N\in {{N}^{+}}$，使得当$m,n>N$时，都有$\left| {{f}_{m}}(x)-{{f}_{n}}(x) \right|<\varepsilon$

由数列的$Cauchy$准则，$\{{{f}_{n}}(x)\}$在$D$上任意一点都收敛，设$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=f(x),x\in D$

现固定已知中的$n$，令$m\to +\infty$

于是当$n>N$时，对一切$x\in D$，都有$\left| {{f}_{n}}(x)-f(x) \right|\le \varepsilon$

于是${{f}_{n}}(x)\overrightarrow{\to }f(x)(n\to +\infty )$

六、可微的充分条件

若函数$z=f(x,y)$的偏导数在$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$的某邻域上存在，且${{f}_{x}}$和${{f}_{y}}$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，则函数$f$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$可微。

证明：由于

$\Delta z=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})=[f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y)]+[f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}},{{y}_{0}})]$

由$Lagrange$中值定理知：

$\Delta z={{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)\Delta x+{{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta x)\Delta y,0<{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}<1$

由于${{f}_{x}}$和${{f}_{y}}$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，因此有

${{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)={{f}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})+\alpha$

${{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta x)={{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})+\beta$

其中当$(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$时，$\alpha \to 0,\beta \to 0$

于是$\Delta z={{f}_{x}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta x+{{f}_{y}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})\Delta y+\alpha \Delta x+\beta \Delta y$

有定义知$f(x,y)$在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$可微

七、偏导数交换顺序

若${{f}_{xy}}(x,y)$和${{f}_{yx}}(x,y)$都在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续，则${{f}_{xy}}(x,y)={{f}_{yx}}(x,y)$

证明：令

$$F(\Delta x,\Delta y)=f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f({{x}_{0}}+\Delta x,{{y}_{0}})-f({{x}_{0}},{{y}_{0}}+\Delta y)+f({{x}_{0}},{{y}_{0}})$$

$\varphi (x)=f(x,{{y}_{0}}+\Delta y)-f(x,{{y}_{0}})$

于是

$F(\Delta x,\Delta y)=\varphi ({{x}_{0}}+\Delta x)-\varphi ({{x}_{0}})$

由于函数$f(x,y)$存在关于$x$的偏导数，所以$\varphi (x)$可导

由一元函数中值定理知：

$\varphi ({{x}_{0}}+\Delta x)-\varphi ({{x}_{0}})=\varphi '({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x)\Delta x=\left[ {{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+\Delta y)-{{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}) \right]\Delta x(0<{{\theta }_{1}}<1)$

又由于${{f}_{x}}(x,y)$存在关于$y$的偏导数，故对以$y$为自变量的函数${{f}_{x}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,y)$应用一元微分中值定理，得

$\varphi ({{x}_{0}}+\Delta x)-\varphi ({{x}_{0}})={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta y)\Delta x\Delta y(0<{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}<1)$

于是

$F(\Delta x,\Delta y)={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta y)\Delta x\Delta y(0<{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}<1)$

如果令$\psi (y)=f(x+\Delta x,y)-f({{x}_{0}},y)$

则 $$F(\Delta x,\Delta y)=\psi ({{y}_{0}}+\Delta y)-\psi ({{y}_{0}})$$

同上可证$F(\Delta x,\Delta y)={{f}_{yx}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{3}}\Delta x,{{y}_{0}}+{{\theta }_{4}}\Delta y)\Delta x\Delta y(0<{{\theta }_{3}},{{\theta }_{4}}<1)$

当$\Delta x,\Delta y$不为0时，于是

$${{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{1}}\Delta x,{{y}_{0}}+{{\theta }_{2}}\Delta y)={{f}_{xy}}({{x}_{0}}+{{\theta }_{3}}\Delta x,{{y}_{0}}+{{\theta }_{4}}\Delta y)$$

由于${{f}_{xy}}(x,y)$和${{f}_{yx}}(x,y)$都在点$({{x}_{0}},{{y}_{0}})$连续

故当$\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$时，有上式两边极限存在且

$${{f}_{xy}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})={{f}_{xy}}({{x}_{0}},{{y}_{0}})$$