实变、泛函综合资料

实变、泛函综合资料

一、叶甫果洛夫定理：

设$mE<+\infty $，${{f}_{n}}$是$E$上$a.e.$收敛于$a.e.$有界函数$f(x)$的可测函数，则对任意的$\delta >0$，存在子集${{E}_{\delta }}\subset E$，使得${{f}_{n}}$在${{E}_{\delta }}$上一致收敛，且$m(E\backslash {{E}_{\delta }})<\delta $

二、鲁津定理：

$f(x)$是$E$上$a.e.$有限的可测函数，则对任意的$\delta >0$，存在闭子集${{F}_{\delta }}\subset E$，使得$f(x)$在${{F}_{\delta }}$上连续，且$m(E\backslash {{F}_{\delta }})<\delta $

三、里斯定理：

$\{{{f}_{n}}\}$在$E$上依测度收敛于$f$，则存在子列$\{{{f}_{{{n}_{i}}}}\}$$a.e.$收敛于$f$

四、$Lebesgue$定理：

（1）$mE<+\infty $

（2）$\{{{f}_{n}}\}$是$E$上一列$a.e.$有限的可测函数列

（3）${{f}_{n}}$在$E$上$a.e.$收敛于$a.e.$有界的函数$f(x)$

则${{f}_{n}}(x)\Rightarrow f(x)$

五、$Levi$定理

设$E\subset {{R}^{q}}$是可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{+\infty }$是$E$上一列非负可测函数，对每一个$x\in E$，

${{f}_{n}}(x)\le {{f}_{n+1}}(x),n=1,2,\cdots $，若记$f(x)=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)$，则$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}=\int_{E}{f(x)dx}$

$Fatou$引理

设$E\subset {{R}^{q}}$是可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{+\infty }$是$E$上一列非负可测函数，则

\[\int_{E}{\underset{\overline{n\to +\infty }}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)dx}\le \underset{\overline{n\to +\infty }}{\mathop{\lim }}\,\int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}\]

$Lebesgue$控制收敛定理

设$E\subset {{R}^{q}}$为可测集，$\{{{f}_{n}}\}_{n=1}^{+\infty }$是$E$上一列非负可测函数列，$F(x)$是$E$上的非负的$L$可积函数，且对任意的正整数$n$，$\left| {{f}_{n}}(x) \right|\le F(x)a.e.$于$E$且$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=f(x)a.e$于$E$，则

$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int_{E}{{{f}_{n}}(x)dx}=\int_{E}{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)dx}$

$Rimanna$可积函数与$Lebesgue$可积函数之间的关系

若$f(x)$在$[a,b]$上是有界函数，且$f(x)$在$[a,b]$上$Rimanna$可积，则$f(x)$在$[a,b]$上

$Lebesgue$可积，且$(L)\int_{[a,b]}{f(x)dx}=(R)\int_{a}^{b}{f(x)dx}$

$Fubini$定理

（1）设$f(P)=f(x,y)$是$A\times B\subset {{R}^{p+q}}$（$A$和$B$分别是${{R}^{p}}$和${{R}^{q}}$中之可测集）上的非负可测函数，则对$a.e.$的$x\in A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可测，且

$\int_{A\times B}{f(P)dP=\int_{A}{dx}}\int_{B}{f(x,y)dy}$

（2）设$f(P)=f(x,y)$在$A\times B\subset {{R}^{p+q}}$上可积，则对$a.e.$的$x\in A$，$f(x,y)$作为$y$的函数在$B$上可积，又$\int_{B}{f(x,y)dy}$作为$x$的函数在$A$上可积，且

$\int_{A\times B}{f(P)dP=\int_{A}{dx}\int_{B}{f(x,y)dy}}$

压缩映像原理

若$X$是完备的度量空间，$T$是$X$上的压缩映像，则$T$有且仅有一个不动点（即满足$Tx=x$的根只有一个）

极小化向量原理

若$X$是内积空间，$M$是$X$上的非空凸集，且按$X$的内积导出的距离完备，则对每个$x\in X$，存在唯一的$y\in M$，使得$\left\| x-y \right\|=d(X,M)$

里斯定理

若$X$是希尔伯特空间，$f$是$X$上的连续线性泛函，则对每个$z\in X$，存在唯一的$x\in X$，使得$f(x)=<x,z>$且$\left\| f \right\|=\left\| z \right\|$

汉恩—巴拿赫泛函延拓定理

设$X$是实线性空间，$p(x)$是$X$上的次线性泛函，$f(x)$是$X$的子空间$Z$上的连续线性泛函，且对任意的$x\in Z$，$f(x)$被$p(x)$控制，即$f(x)\le p(x),x\in Z$，则存在$X$上的连续线性泛函$\overset{\hat{\ }}{\mathop{f}}\,(x)$，使得$\overset{\hat{\ }}{\mathop{f}}\,(x)=f(x)$，并且对任意的$x\in X$，被$p(x)$控制，即

$\overset{\hat{\ }}{\mathop{f}}\,(x)\le p(x),x\in X$

里斯的表示定理

$C[a,b]$上的每一个连续线性泛函$F$可以表示成为$F(f)=\int_{a}^{b}{f(t)d(g(t)),f\in C[a,b]}$，

$g(t)$是$[a,b]$上的有界变差函数，且$\left\| F \right\|=\underset{a}{\overset{b}{\mathop{V}}}\,(g)$

贝尔纲定理

若$X$是非空的完备度量空间，则$X$是第二纲集

一致有界性定理或共鸣定理

若$X$是巴拿赫空间，$Y$是赋范空间，$\beta (X\to Y)$是从$X$到$Y$的有界连续算子全体，

${{T}_{n}}\in \beta (X\to Y),n=1,2,\cdots $，则对每一个$x\in X$，$\{{{T}_{n}}x\}$有界，即$\left\| {{T}_{n}}x \right\|\le {{C}_{x}},n=1,2,\cdots $，其中${{C}_{x}}$是一个与$x$有关的实数，则$\{{{T}_{n}}\}$有界，即存在一个与$x$无关的常数$C$，使得

$\left\| {{T}_{n}} \right\|\le C$

逆算子定理

若$X$和$Y$都是巴拿赫空间，$T$是从$X$到$Y$的一对一有界线性算子，则逆算子${{T}^{-1}}$也是有界线性算子

闭图像定理

若$X$和$Y$都是巴拿赫空间，$T$是$D(x)\subset X$到$Y$的闭线性算子，且$D(x)$是闭的，则$T$是有界线性算子

开映照定理

设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，$A:X\to Y$是一满射的连续线性算子，则$A$是开映照