泛函分析重点定理

                                                                           泛函分析重点定理

$hahn-banach$泛函延拓定理：

设$X$是实线性空间，$p(x)$是$X$上次线性泛函，若$f$是$X$的子空间$Z$上的实线性泛函，且被$p(x)$控制，即满足$f(x)\le p(x),x\in Z$，则存在$X$上的实线性泛函$\overline{f}$，使得当$x\in z$时，有$\overline{f}(x)=f(x)$，并且在整个空间$X$上仍被$p(x)$控制，$\overline{f}(x)\le p(x),x\in X$

一致有界性定理（共鸣定理）：

设$X$为巴拿赫空间，$Y$是赋范空间，$\beta (X\to Y)$表示$X$到$Y$中的有界线性算子全体，

${{T}_{n}}\in \beta (X\to Y),n=1,2,\cdots $，若对每个$x\in X$，$\{\left\| {{T}_{n}}x \right\|\}$有界，即$\left\| {{T}_{n}}x \right\|\le {{C}_{x}},n=1,2,\cdots $，这里${{C}_{x}}$是一与$x$有关的实数，那么，$\{{{T}_{n}}\}$一致有界，即存在与$x$无关的实数$C$，使得对一切正整数$n$，有$\left\| {{T}_{n}} \right\|\le C$

开映照定理：

设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，若$A:X\to Y$是一个满射的连续线性算子，那么$A$就是一个开映射。（或者$A\in L(x,y)$是一个满射）

压缩映射原理

设$X$是完备度量空间，$T$是$X$上的压缩映射，那么$T$有且只有一个不动点（就是说，方程

$Tx=x$，有且只有一个解）

极小化向量定理：

设$X$是内积空间，$M$是$X$中非空凸集，并且按$X$中由内积导出的距离完备，那么对每个

$x\in X$，存在唯一的$y\in M$，使得$\left\| x-y \right\|=d(x,M)$

里斯定理：

设$X$是希尔伯特空间，$f$是$X$上连续线性泛函，那么存在唯一的$z\in X$，使得对每个$x\in X$，有$f(x)=<x,z>$并且$\left\| f \right\|=\left\| z \right\|$

里斯表示定理：

$C[a,b]$上每一个连续线性泛函$F$都可以表示成为$F(f)=\int_{a}^{b}{f(t)dg(t),f\in [a,b]}$

其中$g(t)$是$[a,b]$上有界变差函数，并且$\left\| F \right\|=\underset{a}{\overset{b}{\mathop{V}}}\,(g)$

贝尔刚定理：

若$X$是非空的完备度量空间，则$X$是第二纲集

逆算子定理：

设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，如果$T$是从$X$到$Y$的一对一有界线性算子，那$T$的逆算子${{T}^{-1}}$也是有界线性算子

闭图像定理：

设$X$和$Y$都是巴拿赫空间，$T$是$D(T)\subset X$到$Y$中闭线性算子，如果$D(T)$是闭的，则$T$是有界算子