P60 整数运算

1.无符号数加法

非负整数x,y，满足0<=x,y<2^ω，x和y都能表示为ω位的无符号整数。

x+y的范围是[0,2*2^ω-2),这就有可能需要ω+1位来表示。

计算机在进行无符号数的加法时，用ω+1位来运算，实际结果是截断此运算结果ω位得到的，即丢弃最高位。

可以分两种情况来看：

1）若x+y的范围仍然是[0,2^ω)，则此时最高位必定为0，所以丢弃最高位不影响其大小。

2）若x+y超过了2^ω，此时最高位必定为1，丢弃最高相当于减去2^ω。这就是溢出。

//无符号加法也可以视为一种模运算，加法结果=实际结果mod 2^ω

例. x=9，y=12，x和y都可以表示为4位，[1001]和[1100]，4位的表示范围为[0,16)，而9+12=21，已经超过了4位的表示范围，需要五位来表示，即[10101]，丢弃最高位1，得到[0101]，表示的无符号数为5，与5=9+12-16一致，也与5=（9+12）mod16一致。

无符号数的加法规则：

x 无符号加 y = x + y，x+y<2^ω

x 无符号加 y = x + y - 2^ω，x+y>2^ω

无符号数溢出的判断

设s = x 无符号加 y，已知x>=0,y>=0，若无溢出，则必有s>=x且s>=y

反之，若有s<x或s<y，则必定发生了溢出。

int uadd_ok(unsigned x,unsigned y){return x+y>=x;}

求无符号数的加法逆元（相反数）

-x=2^ω-x，x>0 (x=0时，-x=0）

 

2.补码加法

整数x,y，满-2^ω-1<=x,y<=2^ω-1-1，x和y都能用ω位的补码表示。

由于补码的第一位是符号位，所以ω位的补码表示的范围是[-2^ω-1,2^ω-1-1]

和无符号数一样用截断的方法处理补码加法。

x + y = x + y - 2^ω , 2^ω-1 <= x + y

x + y = x + y , -2^ω-1 <= x + y < 2^ω-1

x + y = x + y + 2^ω , x + y < -2^ω-1

简而言之，正溢出减去2^ω，负溢出加上2^ω。

检验补码加法是否溢出

当x>0,y>0,有s<0

当x<0,y<0,有s>0

上述两种情况发生溢出。

错误代码

int tadd_ok(int x,int y)
{
    int sum=x+y;
    return (sum-x==y)&&(sum-y==x);
}

上述代码永远返回true

因为即使发生了溢出，但运算是可逆的，sum-x==y恒成立。

补码的加法逆元

当x=-2^ω-1，-x=-2^ω-1

当x>-2^ω，-x=-x

当x为表示范围里的最小值即-2^ω-1，-2^ω-1+（-2^ω-1）= -2^ω

发生了负溢出，结果需要加上2^ω，所以-2^ω-1+（-2^ω-1）= -2^ω + 2^ω = 0，所以-2^ω-1的加法逆元就是其自身。

补码取非的技巧

将补码最右边的1的左边所有位按位取反，其他位保持不变。

 

3.无符号乘法

依然是截断低ω位得到结果

x 无符号* y = (x*y) mod 2^ω

 

4.补码乘法

补码乘法和无符号数乘法的位级表示是相同的

补码乘法的结果就是无符号乘法的结果转为补码。

 

5.常数乘法

无符号整数乘以2的幂：x*2^k，位表示的右边添k个0即可，即左移k位

补码同样左移k位即可。

发生溢出时，只需将移位结果截断即可。

例如，11的位表示为[1011]，11*4=11*2²，[1011]左移两位得到[101100]，截断低4位得到[1100]，即12=(11*4) mod 2⁴

位操作在编译器中的应用

乘法的开销比加法和位移大得多，编译器往往希望用加减和位移来代替整数乘以常数的操作。

例如，x*14，会被优化为(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)

除以2的幂

无符号除，逻辑右移k位，x>>k

补码除法，偏置