【Coel.解题报告】【2021的最后一道紫题】[SDOI2013] 随机数生成器

题前碎语

再见了，2021！
回顾这一年，我的\(OI\)力有了不少长进（虽然只是在下半年），也认识了一些新朋友，知道了更多新知识。
尽管有很多不舍，但还是要向这充实的一年做个道别。
那就用这道紫题，作为今年的收尾吧！

题目简介

洛谷传送门

题目背景

小 W 喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。

题目描述

最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 \(p\) 页，页码范围为 \(0∼p−1\) 。

小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 \(x_i\) 来表示通过这种方法生成出来的第 \(i\) 个数，也即小 W 第 \(i\) 天会读哪一页。这个方法需要设置 \(3\) 个参数 \(a,b,x_1\)，满足 \(0\leq a,b,x_1\lt p\)，且 \(a,b,x_1\)都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：

\[x_{i+1} \equiv a \times x_i+b \pmod p \]

其中\(mod\)表示取余操作。

但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。

小 W 要读这本书的第 \(t\) 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 \(t\) 页，或者指出他永远不会读到第 \(t\) 页。

输入格式

本题单测试点内有多组测试数据。

第一行是一个整数 \(T\)，表示测试数据组数。

接下来T行，每行有五个整数\(p, a, b, x_1, t\)，表示一组数据。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数表示他最早读到第 \(t\) 页是哪一天。如果他永远不会读到第 \(t\) 页，输出\(-1\)。

---

利用等比数列进行递推。
题意给的式子并不好推，不过可以先化作等比数列：

\[x_{i+1}+\frac{b}{a-1}\equiv a(x_i+\frac{b}{a-1}) \pmod p \]

然后？

\[x_n+\frac{b}{a-1}\equiv a^{n-1}(x_1+\frac{b}{a-1}) \pmod p \]

做个移项！

\[a^{n−1}\equiv \frac{x_n+\frac{b}{a-1}} {x_1+\frac{b}{a-1}} \pmod p \]

因为 \(a,b,x_1,x_n\)（也就是 \(t\)） 都是已知的，我们只需要把 \(n-1\) 给求出来就好了。
求高次同余方程用什么？\(BSGS\)！
所以就是一个套柿子的过程。
但是要注意，如果 \(a=1\) 或者 \(a=0\) ，这个柿子就不成立了，不过可以直接特判解决。
代码如下：

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <map>

typedef long long ll;

inline ll read() {
    ll x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (!isdigit(ch)) {
        if(ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (isdigit(ch)) {
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

inline ll qpow(ll a, ll b, ll p) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

inline ll Exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll r = Exgcd(b, a % b, x, y), temp = x;
    x = y, y = temp - a / b * y;
    return r;
}

inline ll inv(ll a, ll p) {
//扩欧求逆元（就是不用费马，哈哈）
    ll x, y;
    Exgcd(a, p, x, y);
    return (x % p + p) % p;
}

inline ll bsgs(ll a, ll b, ll p) {
    if(p % a == 0)return -1;
    std::map<ll, ll> Hash;
    ll m = (ll)(sqrt(p)), mul = b % p, temp = 1;
    Hash[mul] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        mul = mul * a % p;
        Hash[mul] = i + 1;
    }
    mul = qpow(a, m, p);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        temp = temp * mul % p;
        if(Hash.find(temp) != Hash.end())
            return ((i * m - Hash[temp] + 1) % p + p) % p + 1;
    }
    return -1;
}

int main() {
    ll T = read();
    while (T--) {
        ll p = read(), a = read(), b = read(), x1 = read(), t = read();
        if(x1 == t)  puts("1");
        else if(a == 1 && b == 0) puts("-1");
        else if(a == 0) puts(t == b ? "2" : "-1");
        else if(a == 1) printf("%lld\n",(((t - x1) % p + p) % p) * inv(b, p) % p + 1);
        else {
            ll in = inv(a - 1, p);
            ll one = (t % p + b % p * in) % p, two = inv (x1 % p + b * in % p, p);//把两个括号的内容分别求出来，防止代码太长
            printf("%lld\n", bsgs(a, one * two % p, p));
        }
    }
    return 0;
}

题后闲话

那么，2021的最后一道紫题的题解，就这样结束了。
虽然有些不舍，不过还是要说一声再见。