【Coel.解题报告】【夏城插值！】【模板】拉格朗日插值

题前碎语

\(And\) \(in\) \(that\) \(light,\) \(I\) \(found\) \(deliverance\).
花了好大劲指抄代码把博客园又美化了一遍，感觉还行。
为什么前几天还在学字符串，这里就直接跳到多项式了？
我不会告诉你是因为我看不懂后缀自动机

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题目简介

洛谷传送门
对原描述做了一点小优化，保证像我一样的颓废高一生能看懂。

题目描述

已知\(n\) 个点 \((x_i,y_i)\) 可以唯一地确定一个多项式 \(y = f(x)\)。
现在，给定这 \(n\) 个点，请你确定这个多项式，并求出 \(f(k) \bmod 998244353\) 的值。

输入格式

第一行两个整数 \(n,k\)。
接下来 \(n\) 行，第 \(i\) 行两个整数 \(x_i,y_i\)。

输出格式

一行一个整数，表示 \(f(k) \bmod 998244353\) 的值。

数据范围

\(1 \le n \leq 2\times 10^3\)，\(1 \le x_i,y_i,k \le 998244353\)，\(x_i\) 两两不同。

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嗯，这题就是套公式。

\[f(k)=\sum_{i=1}^{n} y_i\prod_{j\neq i }\frac{k-x_j}{x_i-x_j} \]

证明什么的网上到处都有，这里就不写了。（真懒
然后就是实现的问题。
考虑到作除法在取模上有问题，所以用乘法逆元代替。
由于\(998244353\)是质数，套用费马小定理（当且仅当\(p\)为质数时成立）：

\[a^{p-1} \equiv 1\pmod{m} \]

两边同时除以\(a\)，有

\[a^{p-2} \equiv a^{-1}\pmod{m} \]

这样就能愉快地计算了。
注意多取亿次模就行了，不要觉得时间复杂度太高，毕竟这数据范围真的很小。
严重怀疑这范围是拿来卡高斯消元的高斯：\(mmp\)
代码如下：

//注：为跟上CCF的最新环境规定，今后所有代码均在C++14(GCC 9)和-O2优化下编译运行。
#include<cstdio>
#define ll long long
#define mod 998244353
#define maxn 2050
struct coord
{
    ll x,y;
}edge[maxn];//为什么写结构体？因为无聊
ll n,k,ans;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline ll Quickpow(ll x,ll n)//快速幂取模
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n%2==1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n/=2;
    }
    return res;
}
inline ll inverse(ll x)//费马逆元
{
    return Quickpow(x,mod-2);
}
int main()
{
    n=read(),k=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        edge[i].x=read(),edge[i].y=read();
    for(register int i=1;i<=n;i++)
    {
        ll s1=edge[i].y,s2=1;
        for(register int j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j)
                s1=s1*(k-edge[j].x)%mod,s2=s2*(edge[i].x-edge[j].x)%mod;
        ans=(ans+s1*inverse(s2)%mod)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}

题后闲话

\(NOIp2021\)的分数线和成绩都已经正式出了，恭喜我们学校两位参加的大佬拿下一等。
今年1=分数线只有\(105pts\)，非常后悔，毕竟\(T1\)打表\(T2\)记忆化搜索就能拿到\(130pts\)+了。
明年再战吧！