算法学习笔记(3)：带权并查集的实现及其应用

带权并查集

普通的并查集只能维护每个节点所在集合的编号，带权并查集则可以维护集合内任意一点到所在集合根的距离。

简单来说，带权并查集支持如下两种操作：

• 在点 $u$ 和 $v$ 之间连一条边权为 $w$ 的边（$u,v$ 在不同的连通块内）。

• 查询点 $u$ 与该连通块的根（即并查集的根）的距离。

find

int find(int x)
{
    if (f[x] == x)
        return x;
    int fa = find(f[x]);
    dis[x] += dis[f[x]];
    return f[x] = fa;
}

f[x]：点 $x$ 的父亲节点。

dis[x]：点 $x$ 到其 父亲节点（注意不是根节点）的距离。

请一定注意 dis 数组的定义，如果我们要询问 $x$ 到根路径的权值和，只需要先调用一遍 find 函数（由于使用了路径压缩，此时 $x$ 的父亲就为并查集的根）即可。

merge

void merge(int x, int y, int c)
{
    int fx = find(x), fy = find(y);
    if (fx == fy)
        return;
    f[fx] = fy, dis[fx] = c + dis[y] - dis[x];
}

merge(x, y, c)：在点 $x$ 和点 $y$ 直接连一条权值为 $c$ 的边，同时将 $x$ 所在的连通块合并到 $y$ 上。

这里是带权并查集比较难理解的一部分，配合图片食用更加。

这是初始状态，我们先调用了一次 find(x) 和 find(y)，$x$ 和 $y$ 所在集合的根以及其到根的距离都已经得到。

我们的任务是在 $x$ 和 $y$ 之间连边，但直接修改 f[x] 或 f[y] 都会破坏并查集的结构，因此只能合并 $fx$ 与 $fy$。

明确一点，根据我的写法，最终集合的根应该为 $fy$。所以 $x$ 到根路径的权值和应为 $c+di{s}_y$（为 $x\to y$ 这条边的权值 + $y$ 到根路径的权值和）。

所以只要在 $fx$ 和 $fy$ 之间连一条边权为 $c+di{s}_y-di{s}_x$ 的边，$x$ 到根的路径和依旧是 $di{s}_x+c+di{s}_y-di{s}_x=c+di{s}_y$。对应的就是将 dis[fx] 的值修改为 $c+di{s}_y-di{s}_x$。

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例题：给定 $n$ 个变量 $a_1\sim a_n$，$m$ 个约束，每个约束形如 $(x,y,c)$ 表示 $a_x-a_y=c$，判断是否存在可行解。

解法：把每个约束拆成 $a_x-a_y\ge c$ 和 $a_x-a_y\le c$，就可以用差分约束来解，但可能会被卡到 $O(nm)$。如果使用带权并查集来做，则可以在接近线性的时间内解决。

对于每个约束 $(x,y,c)$，分两种情况考虑：

• 若 $x$ 和 $y$ 不在同一连通块内，从 $x$ 向 $y$ 连一条权为 $c$ 的边。

• 若 $x$ 和 $y$ 在同一连通块内，只要判断 ($x$ 到根路径权值和) 减去 ($y$ 到根路径权值和) 是否为 $c$ 即可。

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例题：⌈NOI2002⌋ 银河英雄传说

解法：对于 M i j，从 ($i$ 所在集合的根) 向 （$j$ 所在集合的根) 连一条权为 ($i$ 所在连通块大小) 的边；对于 C i j，输出 $|$ ($i$ 到根的权值和) - ($j$ 到根的权值和) $|$ 即可。

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例题：⌈NOI2001⌋ 食物链

解法：考虑到 $A$ 捕食 $B$，$B$ 捕食 $C$，$C$ 捕食 $A$，这种循环关系，我们通过在带权并查集中将权值对 3 取模，即可快速判断两者关系。

如果 $i$ 和 $j$ 不在同一集合：

• $i,j$ 是同类，则从 $i$ 向 $j$ 连一条权为 0 的边。

• $i$ 捕食 $j$，从 $i$ 向 $j$ 连一条权为 1 的边。

如果 $i$ 和 $j$ 在同一集合：

• $i,j$ 是同类，则 ($i$ 到根权值和) 不等于 ($j$ 到根权值和) 则为假话。

• $i$ 捕食 $j$，则 ($i$ 到根权值和) - ($j$ 到根权值和) 不为 1 则为假话。