死磕浮点数——浮点数格式与存储
计算机中的数分为整数与实数。对于实数，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮 点数表达方式。 这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ）， 一 个基数（Base），一个指数 e(阶码 E=e+127 或者 e+1023)（exponent）以及一个表示正负 的符号(Sign)来表达实数。 比如 123.45 用十进制科学计数法可以表达为 1.2345 × 10^2 ， 其中 1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。 浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果， 从而可以灵活地表达更大范围的实数。 又对于一个二进制的数比如 1011.01，用科学计数 法也可以表示为：1.01101*2^3，其中 1.1101 为尾数，2 为基数，3 为指数。
一，浮点数的存储方法
计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。 保存这些浮点数当然必须有特定的格式， C/C++中的浮点数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的单精度 32 位 浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。 在 IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节 的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域， 其中保存的值分别用 于表示给定二进制浮点数中的符号，指数和尾数。 这样，通过尾数和可以调节的指数（所 以称为"浮点"）就可以表达给定的数值了。
根据国际标准 IEEE 754，任意一个二进制浮点数 V 可以表示成下面的形式：
V = (-1) ^ s × M × 2 ^ E
（1）(-1)^s 表示符号位，当 s=0，V 为正数；当 s=1，V 为负数。
（2）M 表示有效数字，大于等于 1，小于 2，但整数部分的 1 不变，因此可以省略。
（3）2^E 表示指数位。
比如： 对于十进制的 5.25 对应的二进制为：101.01，相当于：1.0101*2^2。所以，S 为 0，M 为 1.0101，E 为 2。 而-5.25=-101.01=-1.0101 *2^2.。所以 S 为 1，M 为 1.0101，E 为 2。
对于 32 位的单精度数来说，从低位到高位，尾数 M 用 23 位来表示，阶码 E 用 8 位来表示， 而符号位用最高位 1 位来表示，0 表示正，1 表示负。对于 64 位的双精度数来说，从低位 到高位，尾数 M 用 52 位来表示，阶码用 11 位来表示，而符号位用最高位 1 位来表示，0 表示正，1 表示负。
IEEE 754 对有效数字 M 和指数 E，还有一些特别规定。 前面说过，M 可以写成 1.xxxxxx 的形式，其中 xxxxxx 表示小数部分。IEEE 754 规定，在计算机内部保存 M 时，默认这个 数的第一位总是 1，因此可以被舍去，只保存后面的 xxxxxx 部分。比如保存 1.0101 的时候， 只保存 0101，等到读取的时候，再把第一位的 1 加上去。这样做的目的，是节省 1 位有效 数字。以 32 位浮点数为例，留给 M 只有 23 位，将第一位的 1 舍去以后，等于可以保存 24 位有效数字。
对于 E， 首先，E 为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果 E 为 8 位，它的取 值范围为 0~255；如果 E 为 11 位，它的取值范围为 0~2047。然而科学计数法中的 E 是可 以出现负数的，所以 IEEE 754 规定，E 的真实值必须再减去一个中间数，对于 8 位的 E， 这个中间数是 127；对于 11 位的 E，这个中间数是 1023。 比如，2^2 的 E 是 2，所以保 存成 float 32 位浮点数时，必须保存成 2+127=129，即 10000001。
此外，E 还需要考虑下面 3 种情况：
（1）E 不全为 0 或不全为 1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数 E 的计算值减 去 127（或 1023），得到真实值，再将有效数字 M 前加上第一位的 1。
（2）E 全为 0。这时，浮点数的指数 E 等于 1-127（或者 1-1023），有效数字 M 不再加上 第一位的 1，而是还原为 0.xxxxxx 的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于 0 的很小的 数字。
（3）E 全为 1。这时，如果有效数字 M 全为 0，表示±无穷大（正负取决于符号位 s）；如 果有效数字 M 不全为 0，表示这个数不是一个数（NaN）。
二，浮点数的转换方法
浮点数的转换方法可以分为如下 2 种情况：
1.给出一个浮点数，计算对应的二进制 比如给定一个浮点数，7.25，如何计算它对应的单精度和双精度的二进制呢？
首先，十进制浮点数 7.25 对应的二进制(二进制，十进制和十六进制转化方法：点击这里) 为：111.01。用二进制的科学计数法为：1.1101*2^2。所以，按照上面浮点数的存储结构， 得出符号位为： 0，表示正数；阶码（指数） E 单精度为 2+127=129，双精度为 2+1023=1025； 小数部分 M 为：1101。 所以，
单精度的二进制位：0 10000001 1101 0000000000000000000;
双 精 度 的 二 进 制 位 ： 0 10000000001 1101 000000000000000000000000000000000000000000000000
第一步:将 178.125 表示成二进制数:(178.125)(十进制数)=(10110010.001)(二进制形式);
第二步:将二进制形式的浮点实数转化为规格化的形式:(小数点向左移动 7 个二进制位可以 得到)
10110010.001=1.0110010001*2^7 因而产生了以下三项:
符号位：该数为正数,故第 31 位为 0,占一个二进制位.
阶码：指数(e)为 7,故其阶码为 127+7=134=(10000110)(二进制),占从第 30 到第 23 共 8 个 二进制位.
（注：指数有正负即有符号数，但阶码为正即无符号数，所以将 e 加个 127 作为偏移，方 便指数的比较）
尾数为小数点后的部分, 即 0110010001.因为尾数共 23 个二进制位,在后面补 13 个 0,即 01100100010000000000000
所以,178.125 在内存中的实际表示方式为:
0 10000110 01100100010000000000000
2.给出一个浮点数的二进制，计算对应的十进制值
而如果而如果给出了一个浮点数的二进制，如何计算它对应的十进制，其实就是 1 中的逆 运算。分别求出对应的符号位，阶码指数 E 和小数 M 部分，就可以了。比如，给定一个单 精度浮点数的二进制存储为： 0 10000001 1101 0000000000000000000; 那么对应的符号为：0，表示正数；阶码 E 为：129-127=2；尾数为 1.1101。所以对应的二 进制科学计数法为：1.1101*2^2，也就是 111.01 即：7.25。
小数的输出
小数也可以使用 printf 函数输出，包括十进制形式和指数形式，它们对应的格式控制符分别是：
%f 以十进制形式输出 float 类型；
%lf 以十进制形式输出 double 类型；
%e 以指数形式输出 float 类型，输出结果中的 e 小写；
%E 以指数形式输出 float 类型，输出结果中的 E 大写；
%le 以指数形式输出 double 类型，输出结果中的 e 小写；
%lE 以指数形式输出 double 类型，输出结果中的 E 大写。
对代码的说明：
%f 和 %lf 默认保留六位小数，不足六位以 0 补齐，超过六位按四舍五入截断。
将整数赋值给 float 变量时会变成小数。
以指数形式输出小数时，输出结果为科学计数法；也就是说，尾数部分的取值为：0 ≤ 尾数 < 10。
另外，小数还有一种更加智能的输出方式，就是使用%g。%g 会对比小数的十进制形式和指数形式，以最短的方式来输出小数，让输出结果更加简练。所谓最短，就是输出结果占用最少的字符。
%g 使用示例：
运行结果：
a=1e-05
b=3e+07
c=12.84
d=1.22934
对各个小数的分析：
a 的十进制形式是 0.00001，占用七个字符的位置，a 的指数形式是
1e-05，占用五个字符的位置，指数形式较短，所以以指数的形式输出。
b 的十进制形式是 30000000，占用八个字符的位置，b 的指数形式是 3e+07，占用五个字符的位置，指数形式较短，所以以指数的形式输出。
c 的十进制形式是 12.84，占用五个字符的位置，c 的指数形式是 1.284e+01，占用九个字符的位置，十进制形式较短，所以以十进制的形式输出。
d 的十进制形式是 1.22934，占用七个字符的位置，d 的指数形式是 1.22934e+00，占用十一个字符的位置，十进制形式较短，所以以十进制的形式输出。
读者需要注意的两点是：
%g 默认最多保留六位有效数字，包括整数部分和小数部分；%f 和 %e 默认保留六位小数，只包括小数部分。
%g 不会在最后强加 0 来凑够有效数字的位数，而 %f 和 %e 会在最后强加 0 来凑够小数部分的位数。
总之，%g 要以最短的方式来输出小数，并且小数部分表现很自然，不会强加零，比 %f 和 %e 更有弹性，这在大部分情况下是符合用户习惯的。
除了 %g，还有 %lg、%G、%lG：
%g 和 %lg 分别用来输出 float 类型和 double 类型，并且当以指数形式输出时，e小写。
%G 和 %lG 也分别用来输出 float 类型和 double 类型，只是当以指数形式输出时，E大写。
